) Uma empresa do setor alimentício está planejando abrir novas fábricas considerando cinco possibilidades: Manaus, Fortaleza, Vitória, Barueri e Curitiba. A partir das novas localidades, os produtos serão entregues para cinco consumidores finais: São Luís, Brasília, Belo Horizonte, Rio de Janeiro e São Paulo. Cada fábrica possui um custo fixo de manutenção e uma capacidade máxima, conforme mostra a Tabela 2. Os custos de transporte por unidade transportada de cada fábrica para cada consumidor final, além da demanda dos consumidores, também estão incluídos na tabela. A empresa quer determinar qual(is) fábrica(s) abrir, de modo a minimizar a soma dos custos fixos de instalação e dos custos de transporte, garantindo que a demanda dos consumidores finais será atendida. Modele o problema de localização de facilidades.
Table 1: Tabela 2: Custo de transporte, custo fixo, capacidade e demanda\captionsetup{labelformat=empty}
Custos Unitários de Transporte
São Luís
Brasília
Belo Horizonte
Rio de Janeiro
São Paulo
Custo Fixo
Capacidade
Mnaus
0,82
0,95
1,10
1,33
1,22
111.000
35.000
Fortaleza
0,74
1,12
1,06
1,13
1,24
124.000
30.000
Vitória
1,34
1,24
0,72
0,72
0,88
120.000
25.000
Barueri
1,48
1,26
0,98
0,95
0,70
135.000
30.000
Curitiba
1,52
1,45
1,33
1,22
1,15
140.000
20.000
Demanda
16.000
18.000
12.000
17.000
20.000
Table 1: Tabela 2: Custo de transporte, custo fixo, capacidade e demanda
\captionsetup{labelformat=empty}
| Custos Unitários de Transporte | |||||||
| São Luís | Brasília | Belo Horizonte | Rio de Janeiro | São Paulo | Custo Fixo | Capacidade | |
| Mnaus | 0,82 | 0,95 | 1,10 | 1,33 | 1,22 | 111.000 | 35.000 |
| Fortaleza | 0,74 | 1,12 | 1,06 | 1,13 | 1,24 | 124.000 | 30.000 |
| Vitória | 1,34 | 1,24 | 0,72 | 0,72 | 0,88 | 120.000 | 25.000 |
| Barueri | 1,48 | 1,26 | 0,98 | 0,95 | 0,70 | 135.000 | 30.000 |
| Curitiba | 1,52 | 1,45 | 1,33 | 1,22 | 1,15 | 140.000 | 20.000 |
| Demanda | 16.000 | 18.000 | 12.000 | 17.000 | 20.000 | ||
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos (peguei estes números da tabela):
-
Situações possíveis de instalação (fábricas candidatas), com custo fixo e capacidade:
- Manaus: custo fixo
, capacidade . - Fortaleza: custo fixo
, capacidade . - Vitória: custo fixo
, capacidade . - Barueri: custo fixo
, capacidade . - Curitiba: custo fixo
, capacidade .
- Manaus: custo fixo
-
Consumidores finais (demandas):
- São Luís:
. - Brasília:
. - Belo Horizonte:
. - Rio de Janeiro:
. - São Paulo:
.
- São Luís:
-
Custos unitários de transporte
(custo por unidade transportada da fábrica ao consumidor ). Onde a ordem das fábricas é 1=Manaus, 2=Fortaleza, 3=Vitória, 4=Barueri, 5=Curitiba; a ordem dos consumidores é 1=São Luís, 2=Brasília, 3=Belo Horizonte, 4=Rio de Janeiro, 5=São Paulo. Peguei esses custos da tabela: - Para
(Manaus): , , , , . - Para
(Fortaleza): , , , , . - Para
(Vitória): , , , , . - Para
(Barueri): , , , , . - Para
(Curitiba): , , , , .
- Para
-
Total da demanda (útil para verificar viabilidade):
. -
Soma das capacidades disponíveis (se abrir todas):
. Logo há capacidade suficiente se for aberto um conjunto adequado de fábricas.
O enunciado pede: modelar matematicamente (isto é, escrever um modelo de otimização) que determina quais fábricas abrir e quanto enviar de cada fábrica a cada consumidor, minimizando custos fixos + transporte, atendendo as demandas e respeitando capacidades.
Passo 2
Que tipo de modelo vamos usar e por quê
- Este é um problema clássico de localização capacitada com custo fixo por instalação (capacitated facility location problem). A técnica padrão é formular como um problema de programação inteira mista (Mixed Integer Linear Programming, MILP).
- Ideia central: ter variáveis binárias
que indicam se a fábrica é aberta (custo fixo incorrido) e variáveis contínuas representando quantidades enviadas da fábrica ao cliente . A restrição de capacidade liga com para impedir envio se a fábrica não for aberta. - Por que não só LP contínuo? Porque a decisão “abrir ou não” é discreta e aparece com custo fixo — isso exige variáveis binárias. Portanto o modelo será linear (objetivo e restrições lineares) mas com variáveis binárias: MILP.
Passo 3
Definição de conjuntos e índices (clareza é importante na hora da prova)
- Índices para consumidores:
representando São Luís, Brasília, Belo Horizonte, Rio de Janeiro, São Paulo respectivamente. - Índices para fábricas candidatas:
representando Manaus, Fortaleza, Vitória, Barueri, Curitiba respectivamente.
Passo 4
Parâmetros (o que são, unidades e valores — pegados da tabela)
-
: demanda do cliente (unidades). Valores: . -
: capacidade máxima da fábrica (unidades). Valores: . -
: custo fixo de abrir a fábrica (mesma unidade monetária que os custos de transporte). Valores: . -
: custo unitário de transporte da fábrica ao cliente (peguei todos da tabela; por exemplo é o custo de Manaus São Luís).
Explicação rápida de unidades: se
for número de unidades transportadas, então
é o custo de transporte (mesma unidade que
). Mantenha consistência de unidades.
Passo 5
Variáveis de decisão (definição e interpretação didática)
-
: quantidade enviada da fábrica ao cliente . Variável contínua não-negativa. - Interpretação: se
, significa que a fábrica 3 (Vitória) envia unidades para o cliente 2 (Brasília).
- Interpretação: se
-
: variável binária que vale se a fábrica for aberta, se não for aberta. - Interpretação: se
então Barueri está aberta e paga-se ; se , nada pode sair de Barueri (por força das restrições que vamos criar).
- Interpretação: se
Dica de prova: sempre escreva claramente o domínio das variáveis; isso evita perder pontos.
Passo 6
Construção do objetivo (passo a passo e explicando cada termo)
Queremos minimizar a soma de:
- Custos fixos de abrir fábricas:
. Cada ligado a . - Custos de transporte:
. Soma sobre todos pares cliente–fábrica do custo unitário vezes quantidade enviada.
Então o objetivo, em forma matemática, é:
Explanação: o modelo decide um trade-off — abrir mais fábricas aumenta custos fixos mas pode reduzir transporte; abrir menos fábricas economiza fixo mas aumenta transporte ou até inviabiliza atendimento por capacidade.
Passo 7
Restrições de atendimento de demanda (explicação e forma)
- Cada cliente
deve ter sua demanda totalmente atendida:
Explicação: soma das quantidades recebidas por
vindo de todas as fábricas deve ser exatamente a demanda
. Na prova, se for permitido estoque poderia ser
, mas aqui “garantindo que a demanda será atendida” indica igualdade (ou
com custo zero de sobra; usualmente usa-se igualdade).
Passo 8
Restrições de capacidade e ligação
-
(por que multiplicar por
)
- Capacidade da fábrica
: a soma das quantidades enviados por não pode exceder a capacidade . Além disso, se (fábrica fechada) deve resultar em todas as . Uma forma linear e padrão de impor isso é:
Explicação: se
então a direita é
e força
(nenhum envio permitido). Se
então a soma fica limitada por
. Esta é a maneira correta e elegante de “ligar” a decisão de abrir com o envio, sem precisar de termos não-lineares.
Passo 9
Domínio das variáveis e observações sobre integridade
- Domínio:
- Observação: por causa dos
binários, o problema é um MILP. Na prova, deixar explícito que é binário é crucial.
Passo 10
Dicas rápidas de prova e verificações numéricas úteis (para ganhar tempo e checar coerência)
- Verificação de viabilidade rápida: total demanda
e soma de todas capacidades . Logo existe solução viável se for possível abrir um conjunto de fábricas cuja capacidade some pelo menos . - Lower bound simples sobre número mínimo de fábricas: usando a maior capacidade
(Manaus), um limite inferior no número mínimo de fábricas abertas é . Isso ajuda a pensar: não faz sentido esperar que apenas uma ou duas fábricas atendam tudo (pelo menos com as capacidades dadas). - Para resolver numericamente na prova rápida, se for pedido obter solução exata, use um solver MILP (ex.: CPLEX, Gurobi, ou solver do Excel/LibreOffice). Em prova teórica, escrever o modelo corretamente já vale boa parte da nota.
- Alternativas e extensões: se o enunciado exigisse custo por abrir mais de uma unidade da mesma fábrica, poderíamos usar variáveis inteiras
em vez de binárias; ou se não houvesse capacidade, o modelo simplificaria para location uncapacitated.
Passo 11
Modelo completo (compacto) — versão que vou colocar também como resposta final
(Agora apresento o modelo matemático completo, com todas as equações. Esta é a forma que deve constar na sua prova.)
Resposta
comonde os parâmetros são (peguei todos da tabela):
e a matriz
de custos unitários de transporte (linhas = consumidores
a
, colunas = fábricas
a
):