3^{\circ} ) Qual é o menor raio de uma curva sem compensação (plana) que permite que um ciclista a 36 \mathrm{~km} / \mathrm{h} faça a curva sem derrapar se o coeficiente de atrito estático entre os pneus e a pista é 0,28 ?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pergunta: determinar o menor raio de uma curva plana (sem compensação) para que um ciclista não derrape.
  • Dados fornecidos:
    • velocidade do ciclista: v=36\\ \mathrm{km/h},
    • coeficiente de atrito estático entre pneus e pista: \mu_s=0,28.
  • Convenção usual: aceleração da gravidade g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}.
    Nada mais será assumido; a resposta deve ser o menor raio r que impede derrapagem.

Passo 2

Converter a velocidade para unidades SI (metros por segundo), porque as fórmulas de dinâmica usam \mathrm{m/s}.
v = 36\\ \mathrm{km/h} = 36\cdot\frac{1000}{3600}\\ \mathrm{m/s} = 10\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Analisar as forças e a condição de não derrapar (passo didático).
  • Em uma curva plana e sem compensação, as forças verticais são o peso mg para baixo e a normal N para cima. Como não há aceleração vertical, valem: N = mg.
  • Para manter o movimento circular de raio r é necessária uma força centrípeta horizontal de módulo F_\text{c} = \frac{m v^2}{r},e, neste caso, essa força centrípeta deve ser fornecida pela força de atrito estático disponível entre pneu e pista.
  • O atrito estático máximo disponível é f_{\max}=\mu_s N=\mu_s m g.
  • Condição de não derrapar: a força centrípeta exigida não pode exceder o atrito máximo: \frac{m v^2}{r} \le \mu_s m g.

Passo 4

Isolar r na desigualdade para achar o menor raio possível (quando a igualdade vale).
  • Cancelando m e resolvendo: \frac{v^2}{r} \le \mu_s g \quad\Rightarrow\quad r \ge \frac{v^2}{\mu_s g}.
  • Assim, o menor raio permissível (caso limite, igualdade) é r_{\min}=\frac{v^2}{\mu_s g}.

Passo 5

Substituir os valores numéricos com cuidado (tudo em unidades SI).
r_{\min}=\frac{(10\\ \mathrm{m/s})^2}{0,28\cdot 9,8\\ \mathrm{m/s^2}} =\frac{100}{0,28\cdot 9,8} =\frac{100}{2,744}.
Fazendo a divisão:
\frac{100}{2,744}\approx 36,45\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Interpretação final e dicas para a prova:
  • Resultado: o raio mínimo é aproximadamente 36,45\\ \mathrm{m}. Se a curva tiver raio menor que isso, a força de atrito não será suficiente e o ciclista derrapará.
  • Dica rápida para prova: lembrar a fórmula de limite sem derrapar em curva plana sem compensação: r_{\min}=\frac{v^2}{\mu g},e sempre converter v para \mathrm{m/s} antes de usar.

Resposta

36,45\\ \mathrm{m}