) Um próton (massa
) está sendo acelerado em linha reta a
um acelerador de partículas. Se o próton tem uma velocidade inicial de
e se desloca
, determine (a) a velocidade
o aumento da energia cinética do próton.
Passo 1
Vamos organizar direitinho o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
- massa do próton:
. Aqui há uma ambiguidade no enunciado: o expoente veio mal formatado. O valor físico conhecido da massa do próton é . Vou assumir esse valor . - aceleração constante:
. - velocidade inicial:
. - deslocamento:
.
O enunciado pede:
(a) a velocidade final do próton depois de se deslocar ;
(b) o aumento da energia cinética do próton (isto é, ) durante esse deslocamento.
(a) a velocidade final do próton depois de se deslocar
(b) o aumento da energia cinética do próton (isto é,
Passo 2
Escolhendo o método para (a): com aceleração constante e conhecendo
, a fórmula imediata e prática é a equação cinemática sem tempo:
Explicando essa fórmula (rápida aula): a equação vem de combinar
e
eliminando
. O resultado é exatamente a relação acima. Aqui:
-
é a velocidade final que queremos, -
é a velocidade inicial dada, -
é a aceleração (constante), -
é o deslocamento ao longo da direção do movimento.
Passo 3
Conversão de unidades:
Passo 4
Calcular o termo
:
Faço por partes:
logo
Multiplicando por 2:
Passo 5
Calcular
:
Passo 6
Somar para obter
:
Colocando ambos na mesma potência de 10:
logo
Passo 7
Tirar a raiz para achar
:
Sabendo que
e
,
Portanto a velocidade final é aproximadamente
.
Passo 8
Agora (b): aumento da energia cinética. Teoria rápida e prática:
- A energia cinética é
. - A variação
. - Pelo teorema do trabalho e energia, o trabalho da força resultante é
. Com (velocidade em linha reta), temos , e esse trabalho é exatamente . Ou seja, duas formas equivalentes:
Usarei
porque é direto e evita tirar diferenças grandes em números.
Passo 9
Calcular
com
:
Primeiro já temos .
Agora
Primeiro já temos
Agora
Multiplico os coeficientes:
e somo os expoentes:
Portanto
Arredondando sensatamente (três algarismos significativos):
Passo 10
Verificação rápida usando
:
Coeficiente:
. Expoente:
. Resultado:
, mesmo número obtido antes — ótimo, conferido.
Passo 11
Observação sobre relatividade (só para sossegar): a velocidade final
é cerca de
(com
). Isso dá um fator relativístico
muito próximo de 1 (
), ou seja, o erro de usar fórmulas clássicas é pequeno (ordem de 1{,}4%). Para a maioria das provas de física introdutória, o tratamento clássico pedido é exatamente este que fizemos.
Resposta
(a)
(b)
(b)