4^{\circ} ) Um próton (massa m=1,67 \times 10 \mathrm{x}^{27} \mathrm{~kg} ) está sendo acelerado em linha reta a 1,8 \times 10^{15} \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} \mathrm{em} um acelerador de partículas. Se o próton tem uma velocidade inicial de 4,8 \times 10^{7} \mathrm{~m} / \mathrm{s} e se desloca 4,5 \mathrm{~cm}, determine (a) a velocidade \mathrm{e}(b) o aumento da energia cinética do próton.

Passo 1

Vamos organizar direitinho o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • massa do próton: m = 1,67 \times 10^{?}\\ \mathrm{kg}. Aqui há uma ambiguidade no enunciado: o expoente veio mal formatado. O valor físico conhecido da massa do próton é m = 1,67\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}. Vou assumir esse valor \bigl(m=1,67\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}\bigr).
  • aceleração constante: a = 1,8\times10^{15}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • velocidade inicial: v_{i} = 4,8\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}.
  • deslocamento: \Delta x = 4{,}5\\ \mathrm{cm}.
O enunciado pede:
(a) a velocidade final do próton depois de se deslocar 4{,}5\\ \mathrm{cm};
(b) o aumento da energia cinética do próton (isto é, \Delta K) durante esse deslocamento.

Passo 2

Escolhendo o método para (a): com aceleração constante e conhecendo v_i,\\ a,\\ \Delta x, a fórmula imediata e prática é a equação cinemática sem tempo:
v_{f}^{2} = v_{i}^{2} + 2 a\,\Delta x.
Explicando essa fórmula (rápida aula): a equação vem de combinar
v = v_i + a t
e
\Delta x = v_i t + \tfrac{1}{2} a t^{2},
eliminando t. O resultado é exatamente a relação acima. Aqui:
  • v_{f} é a velocidade final que queremos,
  • v_{i} é a velocidade inicial dada,
  • a é a aceleração (constante),
  • \Delta x é o deslocamento ao longo da direção do movimento.

Passo 3

Conversão de unidades:
\Delta x = 4{,}5\\ \mathrm{cm} = 0{,}045\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular o termo 2 a\,\Delta x:
2 a\,\Delta x = 2 \times \bigl(1{,}8\times10^{15}\bigr)\times 0{,}045.
Faço por partes:
1{,}8\times 0{,}045 = 0{,}081,
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1{,}8\times10^{15}\times 0{,}045 = 0{,}081\times10^{15} = 8{,}1\times10^{13}.
Multiplicando por 2:
2 a\,\Delta x = 2\times 8{,}1\times10^{13} = 1{,}62\times10^{14}\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.

Passo 5

Calcular v_{i}^{2}:
v_{i}^{2} = \bigl(4{,}8\times10^{7}\bigr)^{2} = 4{,}8^{2}\times10^{14} = 23{,}04\times10^{14} = 2{,}304\times10^{15}\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.

Passo 6

Somar para obter v_{f}^{2}:
v_{f}^{2} = v_{i}^{2} + 2 a\,\Delta x = 2{,}304\times10^{15} + 1{,}62\times10^{14}.
Colocando ambos na mesma potência de 10:
1{,}62\times10^{14} = 0{,}162\times10^{15},
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v_{f}^{2} = \bigl(2{,}304 + 0{,}162\bigr)\times10^{15} = 2{,}466\times10^{15}\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.

Passo 7

Tirar a raiz para achar v_{f}:
v_{f} = \sqrt{2{,}466\times10^{15}} = \sqrt{2{,}466}\times\sqrt{10^{15}}.
Sabendo que \sqrt{10^{15}}=10^{7{,}5}=3{,}16227766\times10^{7} e \sqrt{2{,}466}\approx1{,}571,
v_{f}\approx 1{,}571\times 3{,}1623\times10^{7}\approx 4{,}97\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}.
Portanto a velocidade final é aproximadamente \,4{,}97\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Agora (b): aumento da energia cinética. Teoria rápida e prática:
  • A energia cinética é K=\tfrac{1}{2} m v^{2}.
  • A variação \Delta K = K_{f}-K_{i} = \tfrac{1}{2} m\bigl(v_{f}^{2}-v_{i}^{2}\bigr).
  • Pelo teorema do trabalho e energia, o trabalho da força resultante é W = F\Delta x. Com F=ma (velocidade em linha reta), temos W = m a \Delta x, e esse trabalho é exatamente \Delta K. Ou seja, duas formas equivalentes:
\Delta K = \tfrac{1}{2} m\bigl(v_{f}^{2}-v_{i}^{2}\bigr) = m a\,\Delta x.
Usarei \Delta K = m a\,\Delta x porque é direto e evita tirar diferenças grandes em números.

Passo 9

Calcular \Delta K = m a\,\Delta x com m=1{,}67\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}:
Primeiro já temos a\,\Delta x = 1{,}8\times10^{15}\times0{,}045 = 8{,}1\times10^{13}\\ \mathrm{m/s^{2}\cdot m} = 8{,}1\times10^{13}\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
Agora
\Delta K = m a\,\Delta x = \bigl(1{,}67\times10^{-27}\bigr)\times\bigl(8{,}1\times10^{13}\bigr).
Multiplico os coeficientes:
1{,}67\times 8{,}1 = 13{,}527,
e somo os expoentes:
10^{-27}\times10^{13}=10^{-14}.
Portanto
\Delta K = 13{,}527\times10^{-14}\\ \mathrm{J} = 1{,}3527\times10^{-13}\\ \mathrm{J}.
Arredondando sensatamente (três algarismos significativos):
\Delta K \approx 1{,}35\times10^{-13}\\ \mathrm{J}.

Passo 10

Verificação rápida usando \tfrac{1}{2}m(v_{f}^{2}-v_{i}^{2}):
v_{f}^{2}-v_{i}^{2} = 2{,}466\times10^{15} - 2{,}304\times10^{15} = 0{,}162\times10^{15} = 1{,}62\times10^{14}.
\tfrac{1}{2}m\bigl(v_{f}^{2}-v_{i}^{2}\bigr) = 0{,}5\times 1{,}67\times10^{-27}\times 1{,}62\times10^{14}.
Coeficiente: 0{,}5\times1{,}67\times1{,}62 \approx 1{,}3527. Expoente: 10^{-27+14}=10^{-13}. Resultado: 1{,}3527\times10^{-13}\\ \mathrm{J}, mesmo número obtido antes — ótimo, conferido.

Passo 11

Observação sobre relatividade (só para sossegar): a velocidade final \approx4,97\times10^{7}\\ \mathrm{m/s} é cerca de 0{,}166\,c (com c\approx3{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}). Isso dá um fator relativístico \gamma muito próximo de 1 ( \gamma\approx1{,}014), ou seja, o erro de usar fórmulas clássicas é pequeno (ordem de 1{,}4%). Para a maioria das provas de física introdutória, o tratamento clássico pedido é exatamente este que fizemos.

Resposta

(a) v_{f} \approx 4{,}97\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}
(b) \Delta K \approx 1{,}35\times10^{-13}\\ \mathrm{J}