Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela intersecção entre o cone
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cone definido pela equação
e um plano definido por
. Queremos encontrar uma função vetorial que descreva a curva onde esses dois conjuntos se intersectam.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e sistema de equações para encontrar as coordenadas
,
e
que satisfazem ambas as equações simultaneamente.
Passo 2
Vamos começar igualando as duas expressões para
, já que na interseção, os valores de
devem ser os mesmos para ambos:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar a relação entre
e
.
Passo 3
Para eliminar a raiz, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, podemos simplificar a equação subtraindo
de ambos os lados:
Essa é a relação entre
e
na curva de interseção.
Passo 5
Vamos parametrizear
em termos de um parâmetro
. Vamos escolher
. Então, a partir da equação
, temos:
ou
Para simplificar, vamos considerar apenas
.
Passo 6
Agora, sabemos que
, então substituindo
:
Passo 7
Agora, podemos escrever a função vetorial que representa a curva de interseção:
Resposta
A função vetorial que representa a curva de interseção é