circledast Seja sigma uma função com valores vetoriais definida por
sigma(t) = raiz(t - 3) * i + (t - 5)^{-1} * j para todo t em I
Encontre o domínio I de sigma que define uma curva C e as equações paramétricas de C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o domínio da função vetorial e as equações paramétricas da curva que ela gera.
Matéria envolvida: Funções vetoriais, domínio de funções e equações paramétricas de curvas.
O que vamos precisar: Entender o que limita o domínio da função e como extrair as equações paramétricas a partir dela.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função :
Cada componente da função pode ter restrições que afetam o domínio .

Passo 3

Vamos olhar para o primeiro componente: .
Para a raiz quadrada ser válida, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero:
Então, precisa ser pelo menos 3.

Passo 4

Agora, o segundo componente: .
Aqui, o denominador não pode ser zero, então:
Então, não pode ser igual a 5.

Passo 5

Juntando as duas condições:
Isso significa que o domínio é todo número real maior ou igual a 3, exceto 5. Em notação de intervalo, fica:

Passo 6

Agora, vamos encontrar as equações paramétricas da curva .
A função vetorial já está dada em termos de e , que correspondem às coordenadas e :

Resposta

O domínio de é e as equações paramétricas da curva são:

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