Um circuito RL começa a ser carregado por uma bateria em t=0. Em t=2 s a ddp entre os terminais do indutor vale 90 % da força eletromotriz (fem) da bateria, desprezando qualquer resistência interna da bateria,
Determine a razão entre a ddp no resistor e a fem da bateria em t=2 s

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre circuitos elétricos, especificamente um circuito RL (resistor e indutor) que está sendo carregado por uma bateria. Na questão, quando o tempo t=2 s, a diferença de potencial (ddp) nos terminais do indutor é 90% da força eletromotriz (fem) da bateria. Precisamos determinar a razão entre a ddp no resistor e a fem da bateria nesse instante. Para isso, vamos utilizar conceitos de circuitos RL, como a relação entre as tensões no resistor e no indutor, além das equações que descrevem o comportamento desses componentes ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona um circuito RL durante o carregamento. Quando a bateria começa a fornecer energia, a corrente no circuito aumenta gradualmente devido à presença do indutor, que resiste a mudanças na corrente. A tensão no indutor ( VL) é dada pela fórmula:
VL(t) = fem cdot e^-RLt
Onde:
  • fem é a força eletromotriz da bateria,
  • R é a resistência,
  • L é a indutância,
  • t é o tempo.

Passo 3

Sabemos que, aos t=2 s, a ddp no indutor é 90% da fem da bateria. Vamos substituir esses valores na equação:
0.9 cdot fem = fem cdot e^-RL cdot 2
Podemos simplificar cancelando a fem dos dois lados:
0.9 = e^-2RL

Passo 4

Para encontrar a relação entre R e L, vamos resolver a equação acima. Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
ln(0.9) = -2RL
Isolando RL:
RL = -ln(0.9)2
Calculando o valor numérico:
ln(0.9) approx -0.10536
Então:
RL approx 0.105362 = 0.05268 , s^-1

Passo 5

Agora, queremos encontrar a razão entre a ddp no resistor ( VR) e a fem da bateria. Sabemos que:
VR(t) = fem cdot (1 - e^-RLt)
Substituindo t=2 s e RL approx 0.05268 , s^-1:
VR(2) = fem cdot (1 - e^-0.05268 cdot 2) = fem cdot (1 - e^-0.10536)
Calculando e^-0.10536:
e^-0.10536 approx 0.9
Então:
VR(2) = fem cdot (1 - 0.9) = fem cdot 0.1

Resposta

A razão entre a ddp no resistor e a fem da bateria em t=2 s é de 10%.

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