Resolva as seguintes EDOs utilizando transformada de Laplace.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e as condições iniciais:
O que é pedido: encontrar a solução
para
usando transformada de Laplace.
Passo 2
Definição da transformada de Laplace e notação que vou usar:
Aqui
é a variável complexa da transformada e
. A ideia: aplicar
à EDO para transformar derivadas em expressões algébricas em
, resolver para
e inverter a transformada para obter
.
Passo 3
Propriedades e fórmulas que usaremos (são padrão; explico rapidamente a de primeira derivada):
- Linearidade:
. - Transformada da primeira derivada:
Breve derivação (para sentir a origem): integrar por partes
assumindo decaimento suficiente do termo na infinidade, dá
, ou seja a fórmula acima.
- Transformada da segunda derivada:
que se obtém aplicando a fórmula da primeira derivada duas vezes.
Passo 4
Aplicar a transformada de Laplace à EDO inteira:
Substituindo as fórmulas das derivadas:
Coloco agora as condições iniciais
e
. Substituindo:
Simplificando:
Passo 5
Resolver para
:
Ou seja, a transformada de Laplace da solução é a função identicamente zero.
Passo 6
Inversão e argumento de unicidade: a transformada de Laplace é uma operação linear e, sob hipóteses usuais de existência, é injetora — isto é, se
para valores de
numa região apropriada então
quase em toda parte (na prática, para funções contínuas
para todo
). Portanto a inversa de
é
Passo 7
Verificação rápida (método clássico, só para conforto): a equação característica é
com raízes complexas
. A solução geral seria
Aplicando
dá
. Aplicando
com
dá
. Logo
. Isto confirma o resultado obtido por Laplace.