Resolva as seguintes EDOs utilizando transformada de Laplace.
y^{\prime \prime}+y^{\prime}+4 y=0, y(0)=0, y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e as condições iniciais:
y''+y'+4y=0,\qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=0.
O que é pedido: encontrar a solução y(t) para t\ge 0 usando transformada de Laplace.

Passo 2

Definição da transformada de Laplace e notação que vou usar:
\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt.
Aqui s é a variável complexa da transformada e Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}. A ideia: aplicar \mathcal{L} à EDO para transformar derivadas em expressões algébricas em s, resolver para Y(s) e inverter a transformada para obter y(t).

Passo 3

Propriedades e fórmulas que usaremos (são padrão; explico rapidamente a de primeira derivada):
  • Linearidade: \mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=aF(s)+bG(s).
  • Transformada da primeira derivada:
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0).
Breve derivação (para sentir a origem): integrar por partes
\int_{0}^{\infty} e^{-st}y'(t)\,dt=\Big[e^{-st}y(t)\Big]_{0}^{\infty}+s\int_{0}^{\infty} e^{-st}y(t)\,dt,
assumindo decaimento suficiente do termo na infinidade, dá -y(0)+sY(s), ou seja a fórmula acima.
  • Transformada da segunda derivada:
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
que se obtém aplicando a fórmula da primeira derivada duas vezes.

Passo 4

Aplicar a transformada de Laplace à EDO inteira:
\mathcal{L}\{y''\}+\mathcal{L}\{y'\}+4\mathcal{L}\{y\}=0.
Substituindo as fórmulas das derivadas:
\big(s^{2}Y(s)-s y(0)-y'(0)\big)+\big(sY(s)-y(0)\big)+4Y(s)=0.
Coloco agora as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0. Substituindo:
s^{2}Y(s)-s\cdot 0-0 \;+\; sY(s)-0 \;+\;4Y(s)=0.
Simplificando:
\big(s^{2}+s+4\big)Y(s)=0.

Passo 5

Resolver para Y(s):
Y(s)=\frac{0}{s^{2}+s+4}=0.
Ou seja, a transformada de Laplace da solução é a função identicamente zero.

Passo 6

Inversão e argumento de unicidade: a transformada de Laplace é uma operação linear e, sob hipóteses usuais de existência, é injetora — isto é, se \mathcal{L}\{y\}(s)=0 para valores de s numa região apropriada então y(t)=0 quase em toda parte (na prática, para funções contínuas y(t)=0 para todo t\ge 0). Portanto a inversa de Y(s)=0 é
y(t)=0\quad\text{para todo }t\ge 0.

Passo 7

Verificação rápida (método clássico, só para conforto): a equação característica é
r^{2}+r+4=0,
com raízes complexas r=\dfrac{-1\pm i\sqrt{15}}{2}. A solução geral seria
y(t)=e^{-t/2}\Big(A\cos\big(\tfrac{\sqrt{15}}{2}t\big)+B\sin\big(\tfrac{\sqrt{15}}{2}t\big)\Big).
Aplicando y(0)=0 A=0. Aplicando y'(0)=0 com A=0 B=0. Logo y(t)=0. Isto confirma o resultado obtido por Laplace.

Resposta

y(t)=0

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