Um circuito de C.A em paralelo contém resistência pura no 1^{\circ} braço, indutância pura no 2^{\circ} braço e capacitância pura no terceiro. Sabendo que as correntes nos braços são iguais, respectivamente, a 30 \mathrm{~A}, 25 \mathrm{~A} e 15 A , determinar a corrente solicitada da fonte e o ângulo de defasagem entre ela e a tensão aplicada ao circuito. Respostas 31,6 \mathrm{~A} \mathrm{e} 18^{\circ} 26^{\prime}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: a corrente solicitada pela fonte (módulo da corrente total) e o ângulo de defasagem entre essa corrente e a tensão aplicada ao circuito. As informações fornecidas são:
  • O circuito é paralelo com três ramos: o 1º ramo é uma resistência pura, o 2º é uma indutância pura e o 3º é uma capacitância pura.
  • As correntes nos ramos, em valores eficazes (magnitudes), são respectivamente \,30\\ \mathrm{A},\;25\\ \mathrm{A} e \,15\\ \mathrm{A}.
  • Não há valor da tensão nem de impedâncias individuais; somente sabemos as correntes e os tipos dos elementos.
    A partir disso devemos determinar a corrente total da fonte (resultante vetorial / fasorial) e o ângulo entre essa corrente e a tensão aplicada.

Passo 2

Conceito fundamental que vamos usar (aula rápida e prática):
  • Em regime senoidal, trabalhamos com fasores (números complexos) para representar tensões e correntes. Um fasor A pode ser escrito em forma polar A = |A|\angle\theta ou em forma retangular A = x + j y, com x parte real e y parte imaginária.
  • Em um circuito em paralelo a tensão é a mesma em todos os ramos. Portanto os fasores de corrente em cada ramo são “respostas” daquela tensão e podem ser somados vetorialmente para obter a corrente da fonte.
  • Para elementos puros:
    • Resistência pura: a corrente está em fase com a tensão ( 0^\circ).
    • Indutância pura: a corrente está defasada em -90^\circ em relação à tensão (a corrente “atrasa” 90^\circ).
    • Capacitância pura: a corrente está defasada em +90^\circ em relação à tensão (a corrente “avança” 90^\circ).
      Vou usar a convenção onde a parte imaginária positiva corresponde a componente em +j (ângulo +90^\circ).

Passo 3

Representação fasorial dos três ramos (colocando as fases conforme cada elemento):
  • Corrente no resistor: \,I_R = 30\angle 0^\circ.
  • Corrente na indutância: \,I_L = 25\angle -90^\circ.
  • Corrente na capacitância: \,I_C = 15\angle +90^\circ.
Aqui usei diretamente os ângulos que decorrem do tipo de elemento (0°, -90° e +90°) porque a tensão comum não foi dada, e as magnitudes foram fornecidas.

Passo 4

Converter cada fasor para a forma retangular (isso facilita a soma):
Lembrando que |A|\angle\theta = |A|(\cos\theta + j\sin\theta).
  • \,I_R = 30(\cos 0^\circ + j\sin 0^\circ) = 30 + j0.
  • \,I_L = 25(\cos(-90^\circ) + j\sin(-90^\circ)) = 25(0 - j1) = -j25.
  • \,I_C = 15(\cos 90^\circ + j\sin 90^\circ) = 15(0 + j1) = j15.
Expliquei cada passo para você poder refazer sem calculadora: \cos 0^\circ = 1,\\ \sin 0^\circ = 0;\\ \cos 90^\circ = 0,\\ \sin 90^\circ = 1;\\ \sin(-90^\circ) = -1.

Passo 5

Somar os fasores (soma componente real com real, imaginária com imaginária):
I = I_R + I_L + I_C = (30 + j0) + (-j25) + (j15).
Agrupando as partes real e imaginária:
I = 30 + j(0 - 25 + 15) = 30 + j(-10) = 30 - j10.
Interpretação física rápida: a parte real 30 é a componente em fase (vinda do resistor), a parte imaginária -10 indica componente reativa líquida indutiva (negativa no nosso sinal significa que a contribuição reativa é tal que a corrente total atrasa em relação à tensão).

Passo 6

Calcular o módulo da corrente total (norma do número complexo):
|I| = \sqrt{(\operatorname{Re}I)^2 + (\operatorname{Im}I)^2} = \sqrt{30^2 + (-10)^2} = \sqrt{900 + 100} = \sqrt{1000}.
\sqrt{1000} = 10\sqrt{10} \approx 31,622776\ldots
Arredondando a uma casa decimal (como no enunciado): \,|I| \approx 31,6\\ \mathrm{A}.

Passo 7

Calcular o ângulo de defasagem (argumento do fasor):
\varphi = \arctan\!\left(\frac{\operatorname{Im}I}{\operatorname{Re}I}\right) = \arctan\!\left(\frac{-10}{30}\right) = \arctan\!\left(-\tfrac{1}{3}\right).
\varphi \approx -18{,}434948^\circ.
O sinal negativo indica que a corrente total atrasa em relação à tensão (ou seja, circuito com comportamento reativo indutivo líquido). Para obter graus e minutos: a parte fracionária 0{,}434948\ldots multiplicada por 60 dá os minutos:
0{,}434948\ldots \times 60 \approx 26{,}0969\ldots \text{ minutos} \approx 26'.
Portanto o ângulo é aproximadamente -18^\circ 26', isto é, a corrente atrasa 18^\circ 26' em relação à tensão.

Passo 8

Resumo final numérico (o que normalmente a prova pede): módulo da corrente da fonte e ângulo de defasagem entre corrente e tensão. Esses resultados foram obtidos somando fasorialmente as três correntes dadas e convertendo o resultado para módulo e argumento.

Resposta

31,6\\ \mathrm{A}
-18^\circ 26'

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