5.4 A carga 10^{-4} e^{-3 t} \mathrm{C} é removida de uma esfera através de um fio. Determine a corrente no fio em t=0 \mathrm{e} t=2,5 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado diz que a carga na esfera varia com o tempo segundo a função \,Q(t)=10^{-4}e^{-3t}\\ \mathrm{C}. Pede-se a corrente no fio nos instantes t=0 e t=2,5\\ \mathrm{s}. Informações relevantes dadas:
Q(t)=10^{-4}e^{-3t}\\ \mathrm{C},
instantes a avaliar: t=0 e t=2,5\\ \mathrm{s}.

Passo 2

O que é corrente elétrica aqui? A corrente no fio é a taxa de fluxo de carga através do fio. Se Q(t) é a carga remanescente na esfera, a carga que sai da esfera por unidade de tempo é -\dfrac{dQ}{dt} (o sinal menos porque se Q diminui, carga está saindo). Portanto podemos definir a corrente no fio como
i(t)=-\frac{dQ}{dt}.
Essa é uma definição comum: i positiva indica carga saindo da esfera pelo fio.

Passo 3

Calculemos a derivada \dfrac{dQ}{dt}. Temos Q(t)=10^{-4}e^{-3t}. Usamos a regra da derivada de uma constante multiplicada por uma exponencial e a regra da cadeia:
  • Derivada de e^{u(t)} é u'(t)e^{u(t)}.
  • Aqui u(t)=-3t, logo u'(t)=-3.
    Portanto
\frac{dQ}{dt}=10^{-4}\cdot\frac{d}{dt}\bigl(e^{-3t}\bigr)=10^{-4}\cdot(-3)e^{-3t}=-3\cdot 10^{-4}e^{-3t}.
Agora a corrente é
i(t)=-\frac{dQ}{dt}=-\bigl(-3\cdot 10^{-4}e^{-3t}\bigr)=3\cdot 10^{-4}e^{-3t}\\ \mathrm{A}.
Explicando em palavras: a derivada trouxe um fator -3, o menos da definição de corrente cancela esse sinal, ficando positivo.

Passo 4

Avaliação em t=0. Substituímos t=0 em i(t):
i(0)=3\cdot 10^{-4}e^{-3\cdot 0}=3\cdot 10^{-4}e^{0}=3\cdot 10^{-4}\\ \mathrm{A}.
Convertendo para unidades mais familiares: 3\cdot 10^{-4}\\ \mathrm{A}=0{,}0003\\ \mathrm{A}=0{,}3\\ \mathrm{mA}.

Passo 5

Avaliação em t=2{,}5\\ \mathrm{s}. Substituímos t=2{,}5 em i(t):
i(2{,}5)=3\cdot 10^{-4}e^{-3\cdot 2{,}5}=3\cdot 10^{-4}e^{-7{,}5}\\ \mathrm{A}.
Esse é o valor exato em termos de e. Para um valor numérico aproximado, usamos e^{-7{,}5}\approx 5{,}53084\cdot 10^{-4}, então
i(2{,}5)\approx 3\cdot 10^{-4}\times 5{,}53084\cdot 10^{-4}=1{,}6593\cdot 10^{-7}\\ \mathrm{A}.
Arredondando razoavelmente: i(2{,}5)\approx 1{,}66\cdot 10^{-7}\\ \mathrm{A}. Em unidades alternativas: 1{,}66\cdot 10^{-7}\\ \mathrm{A}=0{,}166\\ \mu\mathrm{A}=166\\ \mathrm{nA}.

Resposta

i(0)=3\cdot 10^{-4}\\ \mathrm{A}=0{,}3\\ \mathrm{mA}\n
i(2{,}5)=3\cdot 10^{-4}e^{-7{,}5}\\ \mathrm{A}\approx 1{,}66\cdot 10^{-7}\\ \mathrm{A}=0{,}166\\ \mu\mathrm{A}

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