Cite e desenhe as três estruturas cristalinas comumente adotadas nos metais.

Passo 1

O que o enunciado pede: citar e desenhar as três estruturas cristalinas mais comuns em metais. Informação dada (implícita): você quer entender e ver como são essas estruturas (nomes, desenho/esquema e propriedades úteis para prova). Vou apresentar cada estrutura com um desenho esquemático simples, explicar quantos átomos há na célula unitária, o número de coordenação, a relação entre o parâmetro de rede a e o raio atômico r, e o fator de empacotamento atômico (APF) — porque isso costuma cair em prova.

Passo 2

Conceitos básicos que vamos usar (explicação didática):
  • Uma “célula unitária” é o menor bloco repetitivo que gera o cristal por translação. Pense nela como o tijolinho que monta toda a estrutura.
  • No modelo esférico, cada átomo é uma esfera de raio r.
  • O parâmetro de rede a é o comprimento do lado da célula cúbica (ou outra dimensão relevante, como c na célula hexagonal).
  • O número de coordenação é quantos vizinhos mais próximos um átomo possui (importante para propriedades mecânicas).
  • O APF (atomic packing factor) é a fração do volume da célula unitária ocupada pelos átomos:
\text{APF}=\frac{\text{volume total das esferas na célula}}{\text{volume da célula unitária}}.ééá
Vou mostrar como calcular APF passo a passo para cada estrutura usando relações geométricas simples.

Passo 3

Estrutura 1 — Cúbica de corpo centrado (CCC, também chamada BCC)
  • Descrição: átomos nos 8 vértices do cubo e 1 átomo no centro do cubo.
  • Desenho esquemático (projeção simplificada; “o” = átomo nos vértices, “●” = átomo central):
vista frontal (projeção):
o-----o-----o
|     |     |
|  ●  |  ●  |
o-----o-----o
|     |     |
|     |     |
o-----o-----o
(essa é uma forma de visualizar um cubo com um átomo no centro; o importante é: 8 vértices + 1 centro)
  • Átomos por célula unitária: cada vértice contribui com 1/8 e há 8 vértices → 8\times \tfrac{1}{8}=1; mais 1 átomo no centro → total 2 átomos por célula.
  • Número de coordenação: 8 (cada átomo central toca 8 átomos dos vértices mais próximos).
  • Relação a versus r: os átomos se tocam ao longo da diagonal do corpo do cubo. A diagonal do corpo tem comprimento \sqrt{3}\,a e atravessa 4 raios (duas esferas tocando pelo caminho), então
\sqrt{3}\,a = 4r \quad\Rightarrow\quad a=\frac{4r}{\sqrt{3}}.
  • Cálculo do APF (passo a passo):
    1. Volume ocupado por átomos na célula: 2 átomos \Rightarrow volume total das esferas
    V_{\text{átomos}}=2\cdot \frac{4}{3}\pi r^{3}=\frac{8}{3}\pi r^{3}.á
    1. Volume da célula: V_{\text{célula}}=a^{3}=\left(\frac{4r}{\sqrt{3}}\right)^{3}=\frac{64}{3\sqrt{3}}\,r^{3}.é
    2. APF:
    \text{APF}_{\text{BCC}}=\frac{V_{\text{átomos}}}{V_{\text{célula}}} =\frac{\frac{8}{3}\pi r^{3}}{\frac{64}{3\sqrt{3}} r^{3}} =\frac{\pi\sqrt{3}}{8}\approx 0,680.áé
  • Exemplos de metais BCC: ferro ( \alpha-Fe, a baixas temperaturas), cromo, tungstênio.

Passo 4

Estrutura 2 — Cúbica de faces centradas (CFC, também chamada FCC)
  • Descrição: átomos nos 8 vértices do cubo e um átomo no centro de cada face (6 faces).
  • Desenho esquemático (projeção simplificada; “o” = vértice, “●” = centros de faces):
vista frontal (projeção):
o-----●-----o
|           |
|     ●     |
o-----●-----o
|           |
|           |
o-----o-----o
(na prática há um átomo em cada face; aqui a ideia é visualizar faces com átomos)
  • Átomos por célula unitária: vértices 8\times \tfrac{1}{8}=1; faces 6\times \tfrac{1}{2}=3; total 1+3=4 átomos por célula.
  • Número de coordenação: 12 (cada átomo tem 12 vizinhos mais próximos).
  • Relação a versus r: os átomos se tocam ao longo da diagonal da face; a diagonal da face tem comprimento \sqrt{2}\,a e corresponde a 4r:
\sqrt{2}\,a = 4r \quad\Rightarrow\quad a=2\sqrt{2}\,r.
  • Cálculo do APF:
    1. Volume das esferas na célula: 4 átomos
    V_{\text{átomos}}=4\cdot \frac{4}{3}\pi r^{3}=\frac{16}{3}\pi r^{3}.á
    1. Volume da célula: V_{\text{célula}}=a^{3}=(2\sqrt{2}\,r)^{3}=16\sqrt{2}\,r^{3}.é
    2. APF:
    \text{APF}_{\text{FCC}}=\frac{\frac{16}{3}\pi r^{3}}{16\sqrt{2}\,r^{3}}=\frac{\pi}{3\sqrt{2}}=\frac{\pi\sqrt{2}}{6}\approx 0,740.
  • Observação: CFC é a mais compacta entre as cúbicas; APF \approx 0,740 (mesmo valor da hexagonal compacta ideal).
  • Exemplos de metais FCC: alumínio, cobre, ouro, prata, níquel.

Passo 5

Estrutura 3 — Hexagonal compacta (HC, também chamada HCP)
  • Descrição: empilhamento hexagonal compacto tipo ABAB…; célula unitária convencional é um prisma hexagonal contendo 6 átomos efetivos.
  • Desenho esquemático (vista lateral e superior simplificadas):
vista superior (camada A):
   o   o   o
  o o o o o
   o   o   o

vista lateral (empilhamento AB):
 camada A  -->  ●   (topo)
 camada B  -->   o  (meio)
 camada A  -->  ●   (fundo)
(estas são projeções esquemáticas; a ideia é: hexágono na base, átomos no topo e base e 3 átomos na camada interna)
  • Átomos por célula unitária: convensionalmente conta-se 6 átomos por célula.
  • Número de coordenação: 12 (cada átomo tem 12 vizinhos).
  • Geometria e relações: na hexagonal compacta os átomos na mesma camada formam um arranjo triangular/hexagonal com distância entre centros igual a a. Como os átomos na mesma camada tocam, temos
a=2r.
A altura da célula é c. Para a razão ideal (empacotamento máximo) tem-se
\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{8}{3}}\approx 1,633.
  • Cálculo do APF (para a razão ideal c/a=\sqrt{8/3}):
    1. Volume ocupado por 6 átomos:
    V_{\text{átomos}}=6\cdot \frac{4}{3}\pi r^{3}=8\pi r^{3}.á
    1. Volume da célula hexagonal convencional: a área da base hexagonal regular de lado a é \dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^{2}, então
    V_{\text{célula}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^{2}c.éSubstituindo a=2r e c=\sqrt{\tfrac{8}{3}}\,a: V_{\text{célula}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}(2r)^{2}\left(\sqrt{\tfrac{8}{3}}\,(2r)\right) =\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 4r^{2}\cdot 2r\sqrt{\tfrac{8}{3}} =\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 8 r^{3}\sqrt{\tfrac{8}{3}}.éFazendo a álgebra (simplificando os radicais), chega-se à mesma expressão para o APF do FCC: \text{APF}_{\text{HCP}}=\frac{V_{\text{átomos}}}{V_{\text{célula}}}=\frac{\pi}{3\sqrt{2}}\approx 0,740.áé(ou seja, HCP e FCC têm APF idêntico para a razão c/a ideal).
  • Exemplos de metais HCP: magnésio, titânio, zinco, cobalto.

Passo 6

Resumo comparativo rápido (para decorar e usar em prova)
  • Nomes + siglas:
    • Cúbica de corpo centrado (CCC ou BCC)
    • Cúbica de faces centradas (CFC ou FCC)
    • Hexagonal compacta (HC ou HCP)
  • Átomos por célula: BCC = 2, FCC = 4, HCP = 6.
  • Coordenação: BCC = 8, FCC = 12, HCP = 12.
  • APF: BCC \approx 0,680, FCC \approx 0,740, HCP \approx 0,740.
  • Relações úteis para cálculo rápido: \text{BCC: }\sqrt{3}\,a=4r;\qquad \text{FCC: }\sqrt{2}\,a=4r;\qquad \text{HCP: }a=2r,\; c/a\approx\sqrt{\tfrac{8}{3}}.

Passo 7

Dicas de prova (prático e motivador)
  • Para desenhar rápido: desenhe um cubo; para BCC coloque um ponto no centro; para FCC coloque pontos no centro de cada face.
  • Para HCP, desenhe um hexágono na base, copie no topo e coloque uma camada intermediária deslocada (empilhamento AB).
  • Se te pedirem APF, use as relações acima e conte quantos átomos efetivos há na célula; siga os passos do cálculo de volume da esfera e volume da célula — isso garante nota.
  • Você consegue! Faça um rascunho dos desenhos e memorize as relações \sqrt{3}\,a=4r e \sqrt{2}\,a=4r; elas resolvem muitos exercícios rapidamente.

Resposta

Cúbica de corpo centrado (CCC / BCC)
Cúbica de faces centradas (CFC / FCC)
Hexagonal compacta (HC / HCP)

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