Classifique as afirmações abaixo em verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, justifique. Se falsa, dê um contra-exemplo
Se f: X \rightarrow Y é uma função injetora, então g \circ f é injetora, para toda função g: Y \rightarrow Z.

Passo 1

O enunciado dá a seguinte situação e pede uma classificação:
  • Dado f: X \to Y que é injetora.
  • Afirmam que: para toda função g: Y \to Z, a composição g\circ f é injetora.
O que se pede: decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa.
Informações relevantes fornecidas:
  • A hipótese: f é injetora.
  • A conclusão reclamava-se que vale para toda função g arbitrária: g\circ f é injetora.

Passo 2

Definição e entendimento do que é injetividade (passo-a-passo, sem pular etapas).
  • Definição formal: Uma função h:A\to B é injetora se, e somente se,
\text{para quaisquer }x_1,x_2\in A,\quad h(x_1)=h(x_2)\Rightarrow x_1=x_2.
Isto é, valores iguais na imagem implicam pontos iguais no domínio — não há colisão de imagens de pontos distintos.
  • Intuição simples: ser injetora = “não colapsa dois elementos diferentes em um mesmo valor”.
  • Exemplo rápido e concreto (apenas para fixar): a função h:\{1,2,3\}\to\{a,b,c\} dada por h(1)=a,\\ h(2)=b,\\ h(3)=c é injetora. Já a função k:\{1,2\}\to\{0,1\} com k(1)=0,\\ k(2)=0 não é injetora, porque k(1)=k(2) mas 1\ne2.

Passo 3

Análise da afirmação com pensamento estruturado (sem resolver ainda): a composição g\circ f pode colapsar elementos que f deixou distintos se g identifica (atribui o mesmo valor a) elementos distintos de Y. Logo existe a possibilidade de g “desfazer” a boa propriedade de f. Para tornar isso concreto, vou construir um contra-exemplo bem simples.

Passo 4

Construção de um contra-exemplo explícito (valores concretos, pequenas conjuntas):
  • Tome
X=\{1,2\},\qquad Y=\{a,b\},\qquad Z=\{0,1\}.
  • Defina f:X\to Y por
f(1)=a,\qquad f(2)=b.
Aqui f é injetora, porque f(1)=a\ne b=f(2).
  • Defina g:Y\to Z por
g(a)=0,\qquad g(b)=0.
Note que g não é injetora: g(a)=g(b) com a\ne b.
  • Calcule a composição:
(g\circ f)(1)=g(f(1))=g(a)=0,
(g\circ f)(2)=g(f(2))=g(b)=0.
Logo (g\circ f)(1)=(g\circ f)(2) apesar de 1\ne2. Portanto g\circ f não é injetora.
Este contra-exemplo mostra que, mesmo com f injetora, existe g tal que g\circ f deixa de ser injetora. (Não usei nenhuma construção complicada: apenas escolhi g que identifica os dois elementos da imagem de f.)

Passo 5

Observação geral e condição correta (aula curtidinha sobre o que realmente garante injetividade na composição):
  • Fato correto: para que g\circ f seja injetora é necessário e suficiente que
    1. f seja injetora; e
    2. g seja injetora quando restrita à imagem de f, ou seja, g|_{\operatorname{im}(f)} seja injetora.
  • Prova curta dessa equivalência:
    • (=>) Suponha g\circ f injetora. Se f(x_1)=f(x_2) então g(f(x_1))=g(f(x_2)), ou seja (g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2). Pela injetividade de g\circ f segue x_1=x_2; assim f é injetora. Além disso, se y_1,y_2\in\operatorname{im}(f) e g(y_1)=g(y_2), escolhemos x_1,x_2 com f(x_i)=y_i; então (g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2) e pela injetividade x_1=x_2, daí y_1=y_2. Logo g é injetora em \operatorname{im}(f).
    • (<=) Suponha f injetora e g injetora em \operatorname{im}(f). Se (g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2) então g(f(x_1))=g(f(x_2)). Como f(x_1),f(x_2)\in\operatorname{im}(f) e g é injetora nessa imagem, segue f(x_1)=f(x_2). Pela injetividade de f concluímos x_1=x_2. Assim g\circ f é injetora.
  • Comentário prático: para garantir que a composição seja injetora é suficiente (mas não necessário) que g seja injetora em todo Y. O perigo é quando g identifica pontos que estão na imagem de f.

Resposta

Falsa.