Classifique as afirmações abaixo em verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, justifique. Se falsa, dê um contra-exemplo
Se
é uma função injetora, então
é injetora, para toda função
.
Se
Passo 1
O enunciado dá a seguinte situação e pede uma classificação:
- Dado
que é injetora. - Afirmam que: para toda função
, a composição é injetora.
O que se pede: decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A hipótese:
é injetora. - A conclusão reclamava-se que vale para toda função
arbitrária: é injetora.
Passo 2
Definição e entendimento do que é injetividade (passo-a-passo, sem pular etapas).
- Definição formal: Uma função
é injetora se, e somente se,
Isto é, valores iguais na imagem implicam pontos iguais no domínio — não há colisão de imagens de pontos distintos.
-
Intuição simples: ser injetora = “não colapsa dois elementos diferentes em um mesmo valor”.
-
Exemplo rápido e concreto (apenas para fixar): a função
dada por é injetora. Já a função com não é injetora, porque mas .
Passo 3
Análise da afirmação com pensamento estruturado (sem resolver ainda): a composição
pode colapsar elementos que
deixou distintos se
identifica (atribui o mesmo valor a) elementos distintos de
. Logo existe a possibilidade de
“desfazer” a boa propriedade de
. Para tornar isso concreto, vou construir um contra-exemplo bem simples.
Passo 4
Construção de um contra-exemplo explícito (valores concretos, pequenas conjuntas):
- Tome
- Defina
por
Aqui
é injetora, porque
.
- Defina
por
Note que
não é injetora:
com
.
- Calcule a composição:
Logo
apesar de
. Portanto
não é injetora.
Este contra-exemplo mostra que, mesmo com
injetora, existe
tal que
deixa de ser injetora. (Não usei nenhuma construção complicada: apenas escolhi
que identifica os dois elementos da imagem de
.)
Passo 5
Observação geral e condição correta (aula curtidinha sobre o que realmente garante injetividade na composição):
-
Fato correto: para que
seja injetora é necessário e suficiente que -
seja injetora; e -
seja injetora quando restrita à imagem de , ou seja, seja injetora.
-
-
Prova curta dessa equivalência:
- (=>) Suponha
injetora. Se então , ou seja . Pela injetividade de segue ; assim é injetora. Além disso, se e , escolhemos com ; então e pela injetividade , daí . Logo é injetora em . - (<=) Suponha
injetora e injetora em . Se então . Como e é injetora nessa imagem, segue . Pela injetividade de concluímos . Assim é injetora.
- (=>) Suponha
-
Comentário prático: para garantir que a composição seja injetora é suficiente (mas não necessário) que
seja injetora em todo . O perigo é quando identifica pontos que estão na imagem de .
Resposta
Falsa.