Classifique cada uma das séries abaixo em (D) divergente ou (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente:
() \sum(-1)^{n+1} \frac{(\operatorname{sen} n)^{2}}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(\sin n)^{2}}{n^{2}}
como divergente (D), condicionalmente convergente (CD) ou absolutamente convergente (AC). O conteúdo principal aqui é teste de convergência absoluta usando comparação com série p.

Passo 2

Para verificar convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos dos termos. Se
a_n = (-1)^{n+1}\frac{(\sin n)^{2}}{n^{2}},
então
|a_n| = \frac{(\sin n)^{2}}{n^{2}}.

Passo 3

Usamos o teste da comparação: como para todo n vale 0 \le (\sin n)^{2}\le1, temos
0 \le \frac{(\sin n)^{2}}{n^{2}} \le \frac{1}{n^{2}}.
Sabemos que \sum 1/n^{2} é convergente p=2>1. Logo, pela comparação,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(\sin n)^{2}}{n^{2}}
converge.

Passo 4

Como a série dos módulos \sum|a_n| converge, a série original converge absolutamente. Pela definição, isso implica também convergência simples, mas o critério absoluto já garante a classificação final.

Resposta

(AC) absolutamente convergente.

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