Classifique cada uma das séries abaixo em (D) divergente ou (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente:
() \sum(-1){n+1}\left[\sqrt{n{2}+n}-n\right]

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\bigl[\sqrt{n^{2}+n}-n\bigr]
como (D) divergente, (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente. O conteúdo envolve o teste da divergência de séries: se o termo geral não tende a zero, a série diverge.

Passo 2

Vamos analisar o termo geral
a_n = (-1)^{n+1}\bigl[\sqrt{n^{2}+n}-n\bigr].
Note que
\sqrt{n^{2}+n}-n \;=\; n\bigl(\sqrt{1+\tfrac1n}-1\bigr).
Para n grande, use a expansão
\sqrt{1+\tfrac1n} = 1 + \tfrac1{2n} + O\bigl(n^{-2}\bigr).
Logo
\sqrt{n^{2}+n}-n = n\Bigl(\tfrac1{2n} + O(n^{-2})\Bigr) = \tfrac12 + O\bigl(n^{-1}\bigr).
Portanto
\lim_{n\to\infty}\bigl[\sqrt{n^{2}+n}-n\bigr] = \tfrac12 \neq 0
e assim
\lim_{n\to\infty}a_n\;\text{não é zero}.ãé
Pelo teste da divergência, se o termo geral não tende a zero, a série diverge.

Resposta

D

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