Classifique cada uma das séries abaixo em (D) divergente ou (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente:
() \sum \frac{\cos n \pi}{n \sqrt{n}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum \frac{\cos(n\pi)}{n\sqrt{n}}
em (D) divergente, (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente. Vamos usar o teste de séries alternadas (Leibniz) e o teste de convergência absoluta via p-série.

Passo 2

Note que \cos(n\pi)=(-1)^n. Então a série pode ser reescrita como
\sum \frac{(-1)^n}{n^{3/2}}.
Como 1/n^{3/2} é decrescente e tende a zero, a série alternada converge (teste de Leibniz). Para a convergência absoluta, avalia-se
\sum \biggl|\frac{(-1)^n}{n^{3/2}}\biggr| = \sum \frac{1}{n^{3/2}},
que é uma p-série com p=\tfrac32>1 e, portanto, converge. Logo a série original converge absolutamente.

Resposta

(AC)

Exercícios relacionados