Classifique cada uma das séries abaixo em (D) divergente ou (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente:
( ) \sum(-1)^{n+1} \frac{\ln n}{n-\ln n}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{\ln n}{\,n-\ln n\,}
em (D) divergente, (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente. Vamos usar o crité­rio de Leibniz para séries alternadas e o teste da comparação limite (ou integral) para a convergência absoluta.

Passo 2

Defina
a_n = \frac{\ln n}{\,n-\ln n\,}\,.
  1. Verificamos o limite
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{\,n-\ln n\,} =\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}\cdot\frac{1}{\,1-\frac{\ln n}{n}\,}=0.
  1. Para mostrar que a_n é decrescente a partir de algum N, considere a função
f(x)=\frac{\ln x}{\,x-\ln x\,},\quad x>1.
Calculando
f'(x) =\frac{\frac1x\,(x-\ln x)-\ln x\bigl(1-\frac1x\bigr)}{(x-\ln x)^2} =\frac{1-\ln x}{(x-\ln x)^2}\,,
vemos que, para x>e, tem-se \ln x>1 e portanto f'(x)<0. Logo a_n é decrescente para n\ge3. Pelo critério de Leibniz, a série alternada converge.

Passo 3

Para a convergência absoluta, analise
\sum_{n=2}^{\infty}\bigl|(-1)^{n+1}\tfrac{\ln n}{\,n-\ln n\,}\bigr| =\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\ln n}{\,n-\ln n\,}.
Use comparação limite com b_n=\frac{\ln n}{n}:
\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{\ln n}{\,n-\ln n\,}}{\frac{\ln n}{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\,n-\ln n\,}=1.
Como \sum b_n diverge (por exemplo, pelo teste integral \int \frac{\ln x}{x}dx=\tfrac12(\ln x)^2\to\infty), segue que \sum a_n também diverge. Logo não há convergência absoluta.

Passo 4

A série converge (por Leibniz) mas não converge absolutamente. Portanto é condicionalmente convergente.

Resposta

(CD)

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