Classifique cada uma das séries abaixo em (D) divergente ou (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente:
\sum(-1)^{n+1} \frac{1}{\sqrt{n+10}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{\sqrt{n+10}}
como (D) divergente, (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente. Vamos precisar checar primeiro a convergência absoluta e depois usar o critério de Leibniz para séries alternadas.

Passo 2

Testando a convergência absoluta, consideramos
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl|\;(-1)^{n+1}\frac{1}{\sqrt{n+10}}\Bigr| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n+10}}.
Como para n grande \frac{1}{\sqrt{n+10}}\sim n^{-1/2} e a série \sum n^{-1/2} é uma p-série com p=\tfrac12\le1, ela diverge. Logo não há convergência absoluta.

Passo 3

Agora aplicamos o critério de Leibniz (série alternada). Colocamos
b_n = \frac{1}{\sqrt{n+10}} > 0.
Devemos verificar que
  1. b_n é monótonamente decrescente para n grande, pois a função f(x)=1/\sqrt{x+10} tem derivada negativa quando x>0.
  2. \lim_{n\to\infty}b_n = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n+10}} = 0.
    Como ambas as condições do teste de Leibniz são satisfeitas, a série alternada converge.

Passo 4

Concluímos que a série não converge absolutamente, mas converge pelo critério de Leibniz. Portanto ela é condicionalmente convergente.

Resposta

(CD) condicionalmente convergente.

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