Classifique cada uma das séries abaixo em (D) divergente ou (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente:
\sum(-1)^{n+1} \frac{(\operatorname{sen} n)^{2}}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{(\operatorname{sen} n)^{2}}{n^{2}}
como divergente (D), condicionalmente convergente (CD) ou absolutamente convergente (AC). O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas, em particular convergência absoluta via comparação com uma série p.

Passo 2

Analisamos a série de valores absolutos:
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl|(-1)^{n+1}\,\frac{(\operatorname{sen} n)^{2}}{n^{2}}\Bigr| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(\operatorname{sen} n)^{2}}{n^{2}}.
Como para todo n vale
0 \le (\operatorname{sen} n)^{2} \le 1,
temos
\frac{(\operatorname{sen} n)^{2}}{n^{2}} \le \frac{1}{n^{2}}.
E sabemos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
converge (é série p com p=2>1). Pelo teste da comparação, a série de valores absolutos converge. Logo a série original converge absolutamente.

Resposta

AC

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