Classifique cada uma das séries abaixo em (D) divergente ou (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente:
( ) \sum(-1)^{n+1} \frac{1}{3^{1 / n}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\,\frac{1}{3^{1/n}}
como (D) divergente, (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente. Vamos usar o teste da divergência (termo geral não tende a zero) e depois verificar a convergência absoluta.

Passo 2

Estudemos o comportamento de 3^{1/n} quando n\to\infty. Escrevendo
3^{1/n}=e^{\ln(3)/n},
temos
\lim_{n\to\infty}3^{1/n} =\lim_{n\to\infty}e^{\ln(3)/n} =e^0 =1.
Logo o termo geral
a_n = (-1)^{n+1}\,\frac{1}{3^{1/n}}
satisfaz
\lim_{n\to\infty}a_n =\lim_{n\to\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{1}{3^{1/n}} =\lim_{n\to\infty}(-1)^{n+1}\cdot1,
que não existe (oscila entre +1 e -1) e, em particular, não é zero.

Passo 3

Pelo teste da divergência, se \lim_{n\to\infty}a_n\neq0 então
\sum_{n=1}^\infty a_n
diverge.

Passo 4

Para checar se a série seria absolutamente convergente, olhamos
\sum_{n=1}^\infty\bigl|a_n\bigr| =\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{3^{1/n}}.
Como \lim_{n\to\infty}1/3^{1/n}=1\neq0, esse somatório também diverge pelo mesmo teste da divergência. Portanto não há convergência absoluta nem condicional.

Resposta

(D)

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