Classifique cada uma das séries abaixo em (D) divergente ou (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente:
() \sum(-1)^{n+1} \frac{1}{\ln (n+2)}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{\ln(n+2)}
como divergente (D), condicionalmente convergente (CD) ou absolutamente convergente (AC).
Conteúdo: teste da série alternada (Leibniz) e teste de convergência absoluta (comparação ou integral).

Passo 2

Verificamos a condição essencial do teste de Leibniz:
a_n = \frac{1}{\ln(n+2)}.
Primeiro, \lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\ln(n+2)} = 0.

Passo 3

Mostramos que a_n é monótona decrescente para n grande. Considere f(x)=1/\ln(x+2) para x\ge1.
Seu derivado é
f'(x) = -\frac{1}{(x+2)\,[\ln(x+2)]^2} < 0
para todo x\ge1. Logo a_n decresce.

Passo 4

Pelas condições do teste de séries alternadas de Leibniz (termos que vão a zero e decrescem), a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}a_n
converge.

Passo 5

Agora, testamos a convergência absoluta, ou seja, da série
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl|(-1)^{n+1}\tfrac{1}{\ln(n+2)}\bigr| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(n+2)}.
Para n grande temos \ln(n+2)\le n, então
\frac{1}{\ln(n+2)}\ge\frac{1}{n}.
Como \sum1/n (série harmônica) diverge, por comparação a série \sum1/\ln(n+2) também diverge.

Passo 6

Portanto a série original converge (pelo teste de Leibniz) mas não converge absolutamente. Isso significa convergência condicional.

Resposta

CD

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