Classifique cada uma das séries abaixo em (D) divergente ou (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente:
( ) \sum(-1)^{n+1} \frac{(\operatorname{sen} n)^{2}}{n^{9 / 2}}

Passo 1

O enunciado pede classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{(\sin n)^{2}}{n^{9/2}}
em divergente (D), condicionalmente convergente (CD) ou absolutamente convergente (AC). Para isso, vamos usar o teste de convergência absoluta e comparação com séries-p.

Passo 2

Consideramos a série de valores absolutos:
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\;(-1)^{n+1}\,\frac{(\sin n)^{2}}{n^{9/2}}\right| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(\sin n)^{2}}{n^{9/2}}.
Como 0 \le (\sin n)^{2}\le1, vale
\frac{(\sin n)^{2}}{n^{9/2}}\le\frac{1}{n^{9/2}}.
Sabemos que a série
\sum_{n=1}^{\infty}1/n^{9/2}
é uma série-p com p=9/2>1, logo converge.

Passo 3

Pelo teste de comparação, a série de valores absolutos converge. Isso implica que a série original converge absolutamente.

Resposta

(AC)

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