Classifique cada uma das séries abaixo em (D) divergente ou (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente:
() \sum(-1)^{n+1} \frac{n 2^{n}(n+1)!}{3^{n} n!}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{n\,2^{n}\,(n+1)!}{3^{n}\,n!}
em divergente (D), condicionalmente convergente (CD) ou absolutamente convergente (AC). O assunto é testes de convergência de séries, e vamos precisar simplificar o termo geral e depois aplicar o teste da razão para estudar a convergência absoluta.

Passo 2

Primeiro simplificamos o fator fatorial:
\frac{(n+1)!}{n!} = n+1.
Assim o termo geral fica
a_n = (-1)^{n+1}\,n\,(n+1)\,\Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^n.

Passo 3

Para ver se a série converge absolutamente, analisamos
\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| = \sum_{n=1}^{\infty} n\,(n+1)\,\Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^n.
Aplicando o teste da razão, calculamos
L = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)(n+2)\,(2/3)^{\,n+1}}{n(n+1)\,(2/3)^{\,n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{n+2}{n}\;\frac{2}{3} = \frac{2}{3}.
Como L<1, a série de termos positivos \sum|a_n| converge, logo a série original converge absolutamente.

Passo 4

Convergência absoluta implica convergência da série original, e como \sum|a_n| converge, a classificação é (AC).

Resposta

(AC)

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