Classifique cada uma das séries abaixo em (D) divergente ou (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente:
( ) \sum(-1)^{n+1} \frac{n^{4} 3^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{n^{4}3^{n}}{n!}
como divergente (D), condicionalmente convergente (CD) ou absolutamente convergente (AC). Vamos usar o teste da razão para a série dos valores absolutos, pois se ela convergir, a série original é AC.

Passo 2

Definimos o termo positivo
a_{n} = \frac{n^{4}3^{n}}{n!}
e aplicamos o teste da razão, analisando
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}.

Passo 3

Calculamos a razão:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{(n+1)^{4}3^{\,n+1}/(n+1)!}{n^{4}3^{\,n}/n!} = 3\;\frac{(n+1)^{4}}{(n+1)\,n^{4}} =3\;\frac{(n+1)^{3}}{n^{4}} =3\;\frac{n^{3}(1+\tfrac1n)^{3}}{n^{4}} =3\;\frac{(1+\tfrac1n)^{3}}{n}.
À medida que n\to\infty, tem-se \tfrac{(1+1/n)^{3}}{n}\to0, logo
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = 0 < 1.

Passo 4

Como o limite da razão é menor que 1, a série \sum a_{n} converge. Isso significa que a série original converge absolutamente.

Resposta

(AC)

Exercícios relacionados