Classifique cada uma das séries abaixo em (D) divergente ou (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente:
( ) \sum(-1)^{n+1} \frac{(\operatorname{sen} n)^{2}}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(\sin n)^{2}}{n^{2}}
em divergente (D), condicionalmente convergente (CD) ou absolutamente convergente (AC). O conteúdo aqui é testes de convergência de séries numéricas, em particular convergência absoluta.

Passo 2

Para verificar convergência absoluta, consideramos a série dos módulos dos termos:
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\;(-1)^{n+1}\frac{(\sin n)^{2}}{n^{2}}\right| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(\sin n)^{2}}{n^{2}}.

Passo 3

Como para todo n vale
0 \le (\sin n)^{2} \le 1,
temos
0 \le \frac{(\sin n)^{2}}{n^{2}} \le \frac{1}{n^{2}}.
E sabemos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
é convergente (série p-com p=2>1). Pelo critério da comparação, segue que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(\sin n)^{2}}{n^{2}}
converge.

Passo 4

Como a série dos módulos converge, a série original converge absolutamente. Logo, não há apenas convergência condicional, mas sim convergência absoluta.

Resposta

(AC)

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