Classifique cada uma das séries abaixo em (D) divergente ou (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente:
( ) \sum(-1)^{n+1} \frac{n^{3}}{1+n^{5}}

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos classificar a série
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{n^{3}}{1+n^{5}}
como divergente (D), condicionalmente convergente (CD) ou absolutamente convergente (AC). Vamos usar o teste de convergência absoluta comparando \frac{n^3}{1+n^5} com uma p-série.

Passo 2

Para verificar a convergência absoluta, consideramos
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl|\;(-1)^{n+1}\frac{n^{3}}{1+n^{5}}\Bigr| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{3}}{1+n^{5}}.
Para n grande, 1+n^5\sim n^5, logo
\frac{n^3}{1+n^5}\sim\frac{n^3}{n^5}=\frac1{n^2}.
Como \sum n^{-2} é uma p-série com p=2>1, ela converge. Pelo teste da comparação (ou limite comparativo), \sum n^3/(1+n^5) também converge. Logo a série original converge absolutamente.

Resposta

(AC)

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