Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D. K=x, sen x, cos x em F(R).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente classificar o conjunto como Linearmente Independente (L.I.) ou Linearmente Dependente (L.D.) no espaço das funções reais . Isso significa que precisamos verificar se existe uma combinação linear dessas funções que resulte na função zero, sem que todos os coeficientes sejam zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser linearmente independente. Um conjunto de funções c1 f1(x) + c2 f2(x) + dots + cn fn(x) = 0 é linearmente independente se a única solução para a equação
é . Se existir pelo menos uma combinação linear não trivial que dê zero, então o conjunto é linearmente dependente.

Passo 3

Vamos aplicar isso ao nosso conjunto a x + b sin x + c cos x = 0 para todo x in R . Queremos encontrar constantes (não todas zero) que satisfaçam:
A gente precisa ver se essa equação pode ser verdadeira sem que sejam todos zero.

Passo 4

Vamos analisar essa equação para valores específicos de a cdot 0 + b cdot sin 0 + c cdot cos 0 = 0 0 + 0 + c cdot 1 = 0 c = 0 para facilitar. Por exemplo, vamos escolher :
Então, descobrimos que .

Passo 5

Agora, substituindo a x + b sin x = 0 para todo x in R na equação original:
a cdot pi + b cdot sin pi = 0 a pi + b cdot 0 = 0 a pi = 0 a = 0
Vamos escolher outro valor de , por exemplo, :
Então, .

Passo 6

Com b sin x = 0 para todo x in R e , a equação fica:
A única maneira disso ser verdade para todo é .

Passo 7

Chegamos que , e são as únicas soluções. Isso significa que a única combinação linear que resulta na função zero é a trivial, onde todos os coeficientes são zero.

Resposta

O conjunto é linearmente independente em .

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