Classifique, justificando cuidadosamente, a posição relativa de cada par de retas abaixo:
Em cada caso, diga se as retas são coincidentes, paralelas distintas ou concorrentes.
\displaystyle r_{1}: 3 x-y+2=0 \quad \text { e } \quad s_{1}: 6 x-2 y-5=0

Passo 1

O que o problema pede: classificar a posição relativa entre as duas retas dadas — dizer se são coincidentes, paralelas distintas ou concorrentes — e justificar com cuidado.
Informações fornecidas (copiadas do enunciado):
  • r_{1}:\;3x - y + 2 = 0.
  • s_{1}:\;6x - 2y - 5 = 0.

Passo 2

Conceitos e ferramentas que vamos usar (explicados devagarinho):
  • Uma reta no plano pode ser escrita na forma geral ax + by + c = 0, onde a, b e c são números (coeficientes).
  • Inclinação (coeficiente angular, chamado de m) de uma reta escrita como ax + by + c = 0 é dada por
m = -\frac{a}{b},
desde que b \neq 0. Aqui a e b são os coeficientes da reta e m é o número que descreve a “inclinação” da reta (quanto ela sobe ou desce quando x aumenta).
  • Duas retas com o mesmo m têm a mesma inclinação, portanto são paralelas ou coincidentes. Para decidir entre paralelas distintas e coincidentes, olhamos se todas as componentes da equação são proporcionais pelo mesmo escalar:
    • Seja uma reta L_1:\;a x + b y + c = 0 e outra L_2:\;a' x + b' y + c' = 0.
    • Se existir um escalar \lambda tal que a' = \lambda a, b' = \lambda b e c' = \lambda c, então L_2 é exatamente a mesma reta que L_1 (retas coincidentes).
    • Se a' e b' forem proporcionais a a e b (ou seja, a'/a = b'/b) mas c' não tiver a mesma razão (ou seja, c'/c \neq a'/a), então as retas são paralelas distintas (mesma inclinação, diferentes posições).
    • Se a'/a \neq b'/b (isto é, as inclinações diferem), então as retas se cruzam em um único ponto (concorrentes).

Passo 3

Calcular as inclinações (slopes) das duas retas usando m = -\dfrac{a}{b}.
Para r_{1} temos a=3 e b=-1. Então
m_{r_{1}} = -\frac{3}{-1} = 3.
Para s_{1} temos a'=6 e b'=-2. Então
m_{s_{1}} = -\frac{6}{-2} = 3.
Como m_{r_{1}} = m_{s_{1}}, as retas têm a mesma inclinação. Portanto são paralelas ou coincidentes; agora precisamos checar a razão dos termos constantes para decidir qual dos dois.

Passo 4

Verificação de proporcionalidade completa dos coeficientes.
Comparemos os coeficientes das duas equações:
  • Razão entre os coeficientes de x: \dfrac{6}{3} = 2.
  • Razão entre os coeficientes de y: \dfrac{-2}{-1} = 2.
As razões para a e b coincidem (ambas iguais a 2), o que confirma a mesma inclinação. Agora a constante:
  • Razão entre os termos constantes: \dfrac{c'}{c} = \dfrac{-5}{2} = -\tfrac{5}{2}.
Essa razão -\tfrac{5}{2} não é igual a 2. Logo não existe um único escalar \lambda que transforme todos os coeficientes de r_{1} nos coeficientes de s_{1}. Em palavras: multiplicando a equação de r_{1} por 2 obtém-se 6x - 2y + 4 = 0, que é diferente de 6x - 2y - 5 = 0 (constantes diferentes).
Portanto as retas não são coincidentes, mas como têm a mesma inclinação, são paralelas e distintas.

Passo 5

Conclusão final (curta e direta): as duas retas têm igual inclinação e constantes incompatíveis para coincidência, logo são paralelas distintas.

Resposta

\,r_{1} e \,s_{1} são retas paralelas distintas.