Classifique, justificando cuidadosamente, a posição relativa de cada par de retas abaixo:
Em cada caso, diga se as retas são coincidentes, paralelas distintas ou concorrentes.
Passo 1
O que o problema pede: classificar a posição relativa entre as duas retas dadas — dizer se são coincidentes, paralelas distintas ou concorrentes — e justificar com cuidado.
Informações fornecidas (copiadas do enunciado):
-
. -
.
Passo 2
Conceitos e ferramentas que vamos usar (explicados devagarinho):
- Uma reta no plano pode ser escrita na forma geral
, onde , e são números (coeficientes). - Inclinação (coeficiente angular, chamado de
) de uma reta escrita como é dada por
desde que
. Aqui
e
são os coeficientes da reta e
é o número que descreve a “inclinação” da reta (quanto ela sobe ou desce quando
aumenta).
- Duas retas com o mesmo
têm a mesma inclinação, portanto são paralelas ou coincidentes. Para decidir entre paralelas distintas e coincidentes, olhamos se todas as componentes da equação são proporcionais pelo mesmo escalar: - Seja uma reta
e outra . - Se existir um escalar
tal que , e , então é exatamente a mesma reta que (retas coincidentes). - Se
e forem proporcionais a e (ou seja, ) mas não tiver a mesma razão (ou seja, ), então as retas são paralelas distintas (mesma inclinação, diferentes posições). - Se
(isto é, as inclinações diferem), então as retas se cruzam em um único ponto (concorrentes).
- Seja uma reta
Passo 3
Calcular as inclinações (slopes) das duas retas usando
.
Para
temos
e
. Então
Para
temos
e
. Então
Como
, as retas têm a mesma inclinação. Portanto são paralelas ou coincidentes; agora precisamos checar a razão dos termos constantes para decidir qual dos dois.
Passo 4
Verificação de proporcionalidade completa dos coeficientes.
Comparemos os coeficientes das duas equações:
- Razão entre os coeficientes de
: . - Razão entre os coeficientes de
: .
As razões para
e
coincidem (ambas iguais a
), o que confirma a mesma inclinação. Agora a constante:
- Razão entre os termos constantes:
.
Essa razão
não é igual a
. Logo não existe um único escalar
que transforme todos os coeficientes de
nos coeficientes de
. Em palavras: multiplicando a equação de
por
obtém-se
, que é diferente de
(constantes diferentes).
Portanto as retas não são coincidentes, mas como têm a mesma inclinação, são paralelas e distintas.
Passo 5
Conclusão final (curta e direta): as duas retas têm igual inclinação e constantes incompatíveis para coincidência, logo são paralelas distintas.