Classifique, quanto ao número de soluções, os seguintes sistemas homogêneos.
a) \left\{\begin{array}{l}3 x_{1}-4 x_{2}=0 \\\\ -6 x_{1}+8 x_{2}=0\end{array}\right.
b) \left\{\begin{array}{l}x+y+z=0 \\\\ 2 x+2 y+4 z=0 \\\ x+y+3 z=0\end{array}\right.
c) \left\{\begin{array}{l}x+y+2 z=0 \\\ x-y-3 z=0 \\\ x+4 y=0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede: para cada um dos três sistemas homogêneos, classificar quanto ao número de soluções (ou seja: se têm somente a solução trivial (0,0,\ldots) ou se têm infinitas soluções, e — quando for útil — descrever a forma das soluções).\n
Sistema (a):
Informações dadas: cada sistema é homogêneo (termos independentes iguais a zero). A tarefa é determinar quantas soluções cada um possui.]
Passo 2
Antes de resolver, um mini-aula rápida e prática (sem jargões complicados) sobre sistemas homogêneos e como usamos isso na prova.
Um sistema linear homogêneo é da forma A\mathbf{x}=\mathbf{0}, onde A é a matriz dos coeficientes, \mathbf{x} o vetor de incógnitas e \mathbf{0} o vetor nulo. Sempre existe pelo menos a solução trivial \mathbf{x}=\mathbf{0}.
A chave para saber se existem soluções não triviais é comparar o número de incógnitas n com o posto (rank) da matriz A, que é o número de linhas (ou colunas) linearmente independentes. Regras práticas:
Se \operatorname{rank}(A)=n (posto igual ao número de incógnitas), então a única solução é a trivial \mathbf{0}.
Se \operatorname{rank}(A)<n, então há infinitas soluções não triviais; o número de parâmetros livres é n-\operatorname{rank}(A).
Como verificar o posto na prova sem complicar: usar eliminação de Gauss simples (reduzir linhas para identificar linhas redundantes) ou, quando for matriz quadrada n\times n, calcular o determinante: se \det(A)\neq0 então \operatorname{rank}(A)=n; se \det(A)=0 então \operatorname{rank}(A)<n.
Agora aplicamos isso passo a passo a cada sistema.
Observe que a segunda equação é -2 vezes a primeira, porque
-2\cdot(3x_{1}-4x_{2}) = -6x_{1}+8x_{2}.
Portanto as duas equações são linearmente dependentes — existe apenas uma equação efetiva. Isso significa que a matriz dos coeficientes tem posto \operatorname{rank}(A)=1.
O número de incógnitas é n=2. Como \operatorname{rank}(A)=1<2, há infinitas soluções. Podemos encontrar a descrição paramétrica: da primeira equação
Faço eliminação de Gauss simples: subtraio 2 vezes a primeira equação da segunda e subtraio a primeira equação da terceira para ver dependências.
Segunda linha: (2x+2y+4z)-2(x+y+z) = (2x-2x)+(2y-2y)+(4z-2z)=2z. Logo a segunda equação reduz-se a
0x+0y+2z=0 \quad\Rightarrow\quad 2z=0.
Terceira linha: (x+y+3z)-(x+y+z) = 2z. Logo a terceira equação reduz-se à mesma equação:
0x+0y+2z=0.
Assim, após essas operações, temos uma linha não nula 2z=0 e as outras duas linhas dão informação redundante. Então o posto é \operatorname{rank}(A)=2 (há duas linhas independentes: por exemplo [1\\\ 1\\\ 1] e [0\\\ 0\\\ 2]).
Número de incógnitas n=3. Como \operatorname{rank}(A)=2<3, há infinitas soluções; o número de parâmetros livres é 3-2=1.
Podemos determinar a forma das soluções: de 2z=0 vem z=0. Substituindo em x+y+z=0 obtemos x+y=0\Rightarrow y=-x. Tomando x=t como parâmetro, as soluções são
(x,y,z)=(t,-t,0),\quad t\in\mathbb{R}.
Portanto há infinitas soluções, concretamente uma reta de soluções passando pela origem.]
Como é uma matriz 3\times3, uma maneira rápida é calcular o determinante: se \det(A)\neq0 então o posto é 3 e o sistema homogêneo tem apenas a solução trivial.
Calculo \det(A). Fazendo expansão ou cálculo direto:
Como \det(A)=19\neq0, temos \operatorname{rank}(A)=3, igual ao número de incógnitas n=3. Portanto o único vetor que satisfaz A\mathbf{x}=\mathbf{0} é \mathbf{x}=\mathbf{0}. Conclusão: solução única (a trivial).]
Resposta
a) Infinitas soluções (um parâmetro): (x_{1},x_{2})=\left(\tfrac{4}{3}t,\;t\right),\\ t\in\mathbb{R}.
b) Infinitas soluções (um parâmetro): (x,y,z)=(t,-t,0),\\ t\in\mathbb{R}.
c) Única solução trivial: (x,y,z)=(0,0,0).