Classifique as séries numéricas abaixo como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando sua resposta.
sumn=1^infty n e^2 nn^2 e^n-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma série numérica e queremos descobrir se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. A série que estamos analisando é:
sumn=1^infty n e^2nn^2 e^n-1
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre testes de convergência de séries, que nos ajudam a determinar o comportamento das séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Observe o termo geral da série:
an = n e^2nn^2 e^n-1
Para valores grandes de an approx n e^2nn^2 e^n = e^2nn e^n = e^nn , o termo no denominador vai dominar o , então podemos aproximar:

Passo 3

Agora, temos uma versão simplificada do termo geral:
an approx e^nn
Vamos analisar o comportamento dessa expressão para limn to infty e^nn = infty grande. O numerador cresce de forma exponencial, enquanto o denominador cresce de forma linear. Isso significa que, conforme aumenta, cresce muito mais rápido que , fazendo com que tenda para infinito:

Passo 4

Como o limite do termo geral não tende a zero, mas sim ao infinito, podemos aplicar o Teste da Divergência (ou Teste do Termo Geral), que diz:
Se , então a série diverge.

Resposta

A série é divergente.

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