Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F), e justifique sua resposta.
(a) O vetor v=(1,-1,2) pertence ao subespaço gerado por u=(1,2,3) e v=(3,2,1).
(b) Qualquer vetor em \mathbb{R}^{3} pode ser expresso como combinação linear dos vetores u= (-5,3,2) e v=(3,-1,3).

Passo 1

O enunciado pede para classificar em verdadeiro (V) ou falso (F) dois itens envolvendo subespaços e combinações lineares em \mathbb{R}^3. Para (a) precisamos verificar se o vetor (1,-1,2) pode ser escrito como combinação linear dos vetores (1,2,3) e (3,2,1). Para (b) precisamos decidir se dois vetores em \mathbb{R}^3 podem gerar todo o espaço \mathbb{R}^3. Usaremos o conceito de dimensão de subespaço e a resolução de sistema linear.

Passo 2

Para (a), procuramos escalares \lambda\) e \(\mu\) tais que \[\lambda\,(1,2,3)\;+\;\mu\,(3,2,1)\;=\;(1,-1,2).
Isso gera o sistema
\begin{cases} \lambda + 3\mu = 1,\\\\ 2\lambda + 2\mu = -1,\\\\ 3\lambda + \mu = 2. \end{cases}
Da primeira equação \lambda = 1 - 3\mu\]. Substituindo na segunda: \[2(1-3\mu) + 2\mu = -1 \;\Longrightarrow\; 2 -6\mu +2\mu = -1 \;\Longrightarrow\; -4\mu = -3 \;\Longrightarrow\; \mu = \tfrac{3}{4},\] logo \(\lambda = 1 - 3\cdot\tfrac{3}{4} = -\tfrac{5}{4}.
Verificando na terceira equação:
3\bigl(-\tfrac{5}{4}\bigr) + \tfrac{3}{4} = -\tfrac{15}{4} + \tfrac{3}{4} = -3 \neq 2.
Não há solução consistente, logo o vetor (1,-1,2) não pertence ao subespaço gerado pelos dois vetores. Portanto (a) é FALSO.

Passo 3

Para (b), mesmo que os vetores (-5,3,2) e (3,-1,3) sejam independentes, dois vetores em \mathbb{R}^3 geram no máximo um subespaço de dimensão 2 (um plano). Para gerar todo \mathbb{R}^3 seria necessário ter três vetores linearmente independentes. Logo é impossível expressar qualquer vetor de \mathbb{R}^3 apenas com combinações lineares desses dois vetores. Portanto (b) também é FALSO.

Resposta

(a) F
(b) F

Exercícios relacionados