Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F), e justifique sua resposta.
(a) O vetor v=(1,-1,2) pertence ao subespaço gerado por u=(1,2,3) e v=(3,2,1).
(b) Qualquer vetor em \mathbb{R}^{3} pode ser expresso como combinação linear dos vetores u=(-5,3,2) e v=(3,-1,3).
Passo 1
O enunciado pede para classificar em verdadeiro (V) ou falso (F) dois itens envolvendo subespaços e combinações lineares em \mathbb{R}^3. Para (a) precisamos verificar se o vetor (1,-1,2) pode ser escrito como combinação linear dos vetores (1,2,3) e (3,2,1). Para (b) precisamos decidir se dois vetores em \mathbb{R}^3 podem gerar todo o espaço \mathbb{R}^3. Usaremos o conceito de dimensão de subespaço e a resolução de sistema linear.
Passo 2
Para (a), procuramos escalares \lambda\) e \(\mu\) tais que
\[\lambda\,(1,2,3)\;+\;\mu\,(3,2,1)\;=\;(1,-1,2).
Não há solução consistente, logo o vetor (1,-1,2)não pertence ao subespaço gerado pelos dois vetores. Portanto (a) é FALSO.
Passo 3
Para (b), mesmo que os vetores (-5,3,2) e (3,-1,3) sejam independentes, dois vetores em \mathbb{R}^3 geram no máximo um subespaço de dimensão 2 (um plano). Para gerar todo \mathbb{R}^3 seria necessário ter três vetores linearmente independentes. Logo é impossível expressar qualquer vetor de \mathbb{R}^3 apenas com combinações lineares desses dois vetores. Portanto (b) também é FALSO.