Para o cloreto de metila a 100^{\circ} \mathrm{C}, o segundo e o terceiro coeficientes viriais são: B=-242,5 \mathrm{~cm}^{3} \cdot \mathrm{~mol}^{-1}, C=25.200 \mathrm{~cm}^{6} \cdot \mathrm{~mol}^{-2}
Calcule o trabalho de compressão isotérmica mecanicamente reversível de 1 mol de cloreto de metila de 1 bar a 55 bar a 100^{\circ} \mathrm{C}.
Passo 1
O enunciado dá os coeficientes viriais para cloreto de metila a 100^\circ\mathrm{C} e pede o trabalho de compressão isotérmica, mecanicamente reversível, de 1 mol do gás de 1\\ \mathrm{bar} a 55\\ \mathrm{bar} à temperatura indicada.
Dados fornecidos:
n=1 mol (explicitado no enunciado).
Temperatura: 100^\circ\mathrm{C}, ou seja T=373{,}15\\ \mathrm{K}.
Coeficientes viriais (fornecidos no enunciado, em unidades \mathrm{cm}^3 e \mathrm{cm}^6):
Calcular o trabalho de compressão isotérmica, mecanicamente reversível, de 1 mol do gás ao comprimi-lo de P_1 para P_2. Aqui será entendido “trabalho de compressão” como o trabalho realizado sobre o gás (trabalho fornecido pela vizinhança ao comprimir), portanto um valor positivo.
Passo 2
Conceito e fórmula de base.
Para um processo reversível o trabalho realizado sobre o sistema (trabalho de compressão), que chamaremos W_{\mathrm{on}}, é o negativo do trabalho realizado pelo sistema:
W_{\mathrm{on}} = -W_{\mathrm{by}},
e o trabalho realizado pelo sistema, em processo reversível, é
W_{\mathrm{by}}=\int_{V_1}^{V_2} P\,dV.
Mudando a variável de integração para a pressão (útil quando V é dada em função de P), faz-se integração por partes:
\int_{V_1}^{V_2} P\,dV = P V\Big|_{1}^{2} - \int_{P_1}^{P_2} V\,dP.
Vamos usar essa expressão e substituir V por uma expressão dada pela expansão virial em potências de pressão (após manipulação).
Expansão virial apropriada (aproximação em potências de P). Com os coeficientes B e C dados nas unidades \mathrm{cm}^3/\mathrm{mol} e \mathrm{cm}^6/\mathrm{mol}^2, uma aproximação conveniente para o fator de compressibilidade Z é, para pressões moderadas,
e simplificando obtemos a expansão prática que vamos integrar:
V_m=\frac{R T}{P}+B+\frac{C\,P}{R T}.
Observação: B e C têm de ser convertidos para unidades SI (m^3 e m^6) antes de usar.
Passo 3
Conversão de unidades e constantes numéricas.
Constante dos gases:R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
Temperatura:T=373{,}15\\ \mathrm{K}.
Converter B e C para o SI:1\\ \mathrm{cm}^{3}=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^{3},\qquad 1\\ \mathrm{cm}^{6}=1{,}0\times10^{-12}\\ \mathrm{m}^{6}.PortantoB=-242{,}5\\ \mathrm{cm}^3\cdot\mathrm{mol}^{-1}=-242{,}5\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^3\cdot\mathrm{mol}^{-1} =-2{,}425\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3\cdot\mathrm{mol}^{-1},
Calcular R T:R T = 8{,}314462618\times 373{,}15 \approx 3\,102{,}541726\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}}.
Passo 4
Montar a expressão do trabalho usando a expressão de V_m(P) e a fórmula para W_{\mathrm{on}}.
Primeiro calcule P V_m usando Z:
P V_m = R T\left(1+\frac{B P}{R T}+\frac{C P^{2}}{(R T)^{2}}\right)=R T + B P + \frac{C P^{2}}{R T}.
Isso nos dá a contribuição de \big[P V\big]_{1}^{2} de forma direta.
Agora calcule \int_{P_1}^{P_2} V_m\,dP usando
V_m=\frac{R T}{P}+B+\frac{C P}{R T}.
Integrando termo a termo:
\int_{P_1}^{P_2} \frac{R T}{P}\,dP = R T\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right),
\int_{P_1}^{P_2} B\,dP = B(P_2-P_1),
\int_{P_1}^{P_2} \frac{C P}{R T}\,dP = \frac{C}{2 R T}\left(P_2^{2}-P_1^{2}\right).
Substituindo emW_{\mathrm{on}} = -\big[P V_m\big]_{1}^{2} + \int_{P_1}^{P_2} V_m\,dP,obtemos (reunindo termos)W_{\mathrm{on}} = -\Big(RT + B P_2 + \frac{C P_2^2}{RT} - RT - B P_1 - \frac{C P_1^2}{RT}\Big) + RT\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right) + B(P_2-P_1) + \frac{C}{2RT}\left(P_2^2-P_1^2\right).Simplificando os termos em B (eles se cancelam) e agrupando os termos em C, chega-se a uma expressão compacta:W_{\mathrm{on}} = RT\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right) - \frac{C}{2RT}\left(P_2^{2}-P_1^{2}\right).Observação importante: o termo em B desaparece desta expressão — isto é um resultado prático: na aproximação feita, a segunda constante virial cancela quando se calcula o trabalho de compressão via essa manipulação; permanece apenas a correção de ordem C.
Subtraindo do primeiro termo:W_{\mathrm{on}}\approx 12\,432{,}924\\ \mathrm{J} - 122{,}878\\ \mathrm{J} \approx 12\,310{,}046\\ \mathrm{J}.
Passo 6
Interpretação e arredondamento final.
O resultado é o trabalho de compressão (trabalho entregue ao gás) para comprimí-lo reversivelmente, isotermicamente, de 1\\ \mathrm{bar} a 55\\ \mathrm{bar} à temperatura dada.
Em kJ e com 3 algarismos significativos:W_{\mathrm{on}}\approx 12{,}31\\ \mathrm{kJ}.