Para o cloreto de metila a 100^{\circ} \mathrm{C}, o segundo e o terceiro coeficientes viriais são:
B=-242,5 \mathrm{~cm}^{3} \cdot \mathrm{~mol}^{-1}, C=25.200 \mathrm{~cm}^{6} \cdot \mathrm{~mol}^{-2}
Calcule o trabalho de compressão isotérmica mecanicamente reversível de 1 mol de cloreto de metila de 1 bar a 55 bar a 100^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado dá os coeficientes viriais para cloreto de metila a 100^\circ\mathrm{C} e pede o trabalho de compressão isotérmica, mecanicamente reversível, de 1 mol do gás de 1\\ \mathrm{bar} a 55\\ \mathrm{bar} à temperatura indicada.
Dados fornecidos:
  • n=1 mol (explicitado no enunciado).
  • Temperatura: 100^\circ\mathrm{C}, ou seja T=373{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Coeficientes viriais (fornecidos no enunciado, em unidades \mathrm{cm}^3 e \mathrm{cm}^6):
    • B=-242{,}5\\ \mathrm{cm}^3\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
    • C=25\,200\\ \mathrm{cm}^6\cdot\mathrm{mol}^{-2}.
  • Pressões iniciais/finais:
    • P_1=1\\ \mathrm{bar}=1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
    • P_2=55\\ \mathrm{bar}=5{,}5\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
O que se pede:
  • Calcular o trabalho de compressão isotérmica, mecanicamente reversível, de 1 mol do gás ao comprimi-lo de P_1 para P_2. Aqui será entendido “trabalho de compressão” como o trabalho realizado sobre o gás (trabalho fornecido pela vizinhança ao comprimir), portanto um valor positivo.

Passo 2

Conceito e fórmula de base.
  • Para um processo reversível o trabalho realizado sobre o sistema (trabalho de compressão), que chamaremos W_{\mathrm{on}}, é o negativo do trabalho realizado pelo sistema:
    W_{\mathrm{on}} = -W_{\mathrm{by}},
    e o trabalho realizado pelo sistema, em processo reversível, é
    W_{\mathrm{by}}=\int_{V_1}^{V_2} P\,dV.
    Mudando a variável de integração para a pressão (útil quando V é dada em função de P), faz-se integração por partes:
    \int_{V_1}^{V_2} P\,dV = P V\Big|_{1}^{2} - \int_{P_1}^{P_2} V\,dP.
    Assim
    W_{\mathrm{on}} = -W_{\mathrm{by}} = -\big[P V\big]_{1}^{2} + \int_{P_1}^{P_2} V\,dP.
    Vamos usar essa expressão e substituir V por uma expressão dada pela expansão virial em potências de pressão (após manipulação).
  • Expansão virial apropriada (aproximação em potências de P). Com os coeficientes B e C dados nas unidades \mathrm{cm}^3/\mathrm{mol} e \mathrm{cm}^6/\mathrm{mol}^2, uma aproximação conveniente para o fator de compressibilidade Z é, para pressões moderadas,
    Z\equiv\frac{P V_m}{R T}\approx 1+\frac{B P}{R T}+\frac{C P^{2}}{(R T)^{2}},
    onde V_m é o volume molar. Essa forma resulta de aproximar 1/V_m\approx P/(RT) nas potências de 1/V_m. A partir daí:
    V_m=\frac{R T}{P}\,Z=\frac{R T}{P}\left(1+\frac{B P}{R T}+\frac{C P^{2}}{(R T)^{2}}\right)
    e simplificando obtemos a expansão prática que vamos integrar:
    V_m=\frac{R T}{P}+B+\frac{C\,P}{R T}.
    Observação: B e C têm de ser convertidos para unidades SI (m ^3 e m ^6) antes de usar.

Passo 3

Conversão de unidades e constantes numéricas.
  • Constante dos gases: R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
  • Temperatura: T=373{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Converter B e C para o SI: 1\\ \mathrm{cm}^{3}=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^{3},\qquad 1\\ \mathrm{cm}^{6}=1{,}0\times10^{-12}\\ \mathrm{m}^{6}.Portanto B=-242{,}5\\ \mathrm{cm}^3\cdot\mathrm{mol}^{-1}=-242{,}5\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^3\cdot\mathrm{mol}^{-1} =-2{,}425\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3\cdot\mathrm{mol}^{-1},
C=25\,200\\ \mathrm{cm}^6\cdot\mathrm{mol}^{-2}=25\,200\times10^{-12}\\ \mathrm{m}^6\cdot\mathrm{mol}^{-2} =2{,}52\times10^{-8}\\ \mathrm{m}^6\cdot\mathrm{mol}^{-2}.
  • Calcular R T: R T = 8{,}314462618\times 373{,}15 \approx 3\,102{,}541726\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}}.

Passo 4

Montar a expressão do trabalho usando a expressão de V_m(P) e a fórmula para W_{\mathrm{on}}.
  • Primeiro calcule P V_m usando Z:
    P V_m = R T\left(1+\frac{B P}{R T}+\frac{C P^{2}}{(R T)^{2}}\right)=R T + B P + \frac{C P^{2}}{R T}.
    Isso nos dá a contribuição de \big[P V\big]_{1}^{2} de forma direta.
  • Agora calcule \int_{P_1}^{P_2} V_m\,dP usando
    V_m=\frac{R T}{P}+B+\frac{C P}{R T}.
    Integrando termo a termo:
    \int_{P_1}^{P_2} \frac{R T}{P}\,dP = R T\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right),
\int_{P_1}^{P_2} B\,dP = B(P_2-P_1),
\int_{P_1}^{P_2} \frac{C P}{R T}\,dP = \frac{C}{2 R T}\left(P_2^{2}-P_1^{2}\right).
  • Substituindo em W_{\mathrm{on}} = -\big[P V_m\big]_{1}^{2} + \int_{P_1}^{P_2} V_m\,dP,obtemos (reunindo termos) W_{\mathrm{on}} = -\Big(RT + B P_2 + \frac{C P_2^2}{RT} - RT - B P_1 - \frac{C P_1^2}{RT}\Big) + RT\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right) + B(P_2-P_1) + \frac{C}{2RT}\left(P_2^2-P_1^2\right).Simplificando os termos em B (eles se cancelam) e agrupando os termos em C, chega-se a uma expressão compacta: W_{\mathrm{on}} = RT\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right) - \frac{C}{2RT}\left(P_2^{2}-P_1^{2}\right).Observação importante: o termo em B desaparece desta expressão — isto é um resultado prático: na aproximação feita, a segunda constante virial cancela quando se calcula o trabalho de compressão via essa manipulação; permanece apenas a correção de ordem C.

Passo 5

Substituir números e calcular numericametne.
  • Primeiro termo:
    RT\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right)=3\,102{,}541726\\ \mathrm{J}\cdot\ln(55).
    Como \ln(55)\approx 4{,}007333185,
    RT\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right)\approx 3\,102{,}541726\times4{,}007333185 \approx 12\,432{,}924\\ \mathrm{J}.
  • Segundo termo (correção com C):
    \frac{C}{2RT}\left(P_2^{2}-P_1^{2}\right) =\frac{2{,}52\times10^{-8}}{2\times3\,102{,}541726}\Big((5{,}5\times10^{6})^{2}-(1{,}0\times10^{5})^{2}\Big).
    Calcule passo a passo:
    \frac{C}{2RT}\approx\frac{2{,}52\times10^{-8}}{6\,205{,}083452}\approx 4{,}0618\times10^{-12}\\ \mathrm{Pa^{-1}\cdot m^{3}\\ (adim.)}.
P_2^{2}-P_1^{2}=(5{,}5\times10^{6})^{2}-(1{,}0\times10^{5})^{2}=3{,}025\times10^{13}-1{,}0\times10^{10}\approx 3{,}024\times10^{13}\\ \mathrm{Pa^{2}}.
Produto:
\frac{C}{2RT}\left(P_2^{2}-P_1^{2}\right)\approx 4{,}0618\times10^{-12}\times3{,}024\times10^{13}\approx 122{,}878\\ \mathrm{J}.
  • Subtraindo do primeiro termo: W_{\mathrm{on}}\approx 12\,432{,}924\\ \mathrm{J} - 122{,}878\\ \mathrm{J} \approx 12\,310{,}046\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Interpretação e arredondamento final.
  • O resultado é o trabalho de compressão (trabalho entregue ao gás) para comprimí-lo reversivelmente, isotermicamente, de 1\\ \mathrm{bar} a 55\\ \mathrm{bar} à temperatura dada.
  • Em kJ e com 3 algarismos significativos: W_{\mathrm{on}}\approx 12{,}31\\ \mathrm{kJ}.

Resposta

W_{\mathrm{on}}\approx 12\,310{,}0\\ \mathrm{J}\approx 12{,}31\\ \mathrm{kJ}

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