Encontre uma expressão para o trabalho de compressão reversível e isotérmica de 1 mol de gás em um conjunto cilindro-pistão, sabendo que o volume molar do gás é dado por:
onde b e R são constantes positivas.
onde b e R são constantes positivas.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá:
- Pede: uma expressão para o trabalho de compressão reversível e isotérmica de
mol de gás num cilindro-pistão (ou seja, o trabalho realizado sobre o gás ao comprimi-lo de um volume inicial para um volume final ). - Dados fornecidos:
- A relação entre volume molar
, pressão e temperatura é onde e são constantes positivas e é constante (isotérmico). - É um processo reversível (a pressão do gás é igual à pressão externa a cada instante).
- A relação entre volume molar
- Observação importante: para a fórmula fazer sentido físico, os volumes envolvidos devem satisfazer
(pois aparece no denominador).
Passo 2
Transformar a relação dada para obter
em função de
— isso é necessário porque o trabalho será obtido integrando a pressão como função do volume.
Partimos de
Isolando
:
Aqui
é a pressão do gás quando o volume molar é
. Note que, para
mol,
é o volume do sistema (já está em base molar).
Passo 3
Escrever a expressão do trabalho para um processo reversível isotérmico e decidir convenção de sinais.
- Para um processo reversível, o trabalho realizado sobre o gás ao variar o volume de
para é dado por onde é o trabalho feito sobre o gás (com a convenção usual: trabalho positivo quando feito sobre o sistema). Se preferir o trabalho realizado pelo gás, . - Como o processo é reversível, podemos usar
dentro da integral.
Passo 4
Substituir
na integral e calcular passo a passo.
Substituindo:
Como
e
são constantes durante o processo isotérmico, podemos fatorá-los:
A integral de
é o logaritmo natural:
Portanto
Usando propriedades dos logaritmos:
Passo 5
Interpretação, domínio e forma alternativa (útil na prova).
- Resultado final para o trabalho de compressão (trabalho feito sobre o gás) ao comprimir reversivelmente de
para : - Condição:
e . Se (compressão), então e é positivo, logo — faz sentido físico: trabalho positivo realizado sobre o gás. - Se quiser o trabalho realizado pelo gás, basta mudar o sinal: