Encontre uma expressão para o trabalho de compressão reversível e isotérmica de 1 mol de gás em um conjunto cilindro-pistão, sabendo que o volume molar do gás é dado por:
\mathrm{V}=\mathrm{RT} / \mathrm{P}+\mathrm{b}
onde b e R são constantes positivas.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Pede: uma expressão para o trabalho de compressão reversível e isotérmica de 1 mol de gás num cilindro-pistão (ou seja, o trabalho realizado sobre o gás ao comprimi-lo de um volume inicial V_1 para um volume final V_2).
  • Dados fornecidos:
    • A relação entre volume molar V, pressão P e temperatura T é V=\frac{RT}{P}+b,onde R e b são constantes positivas e T é constante (isotérmico).
    • É um processo reversível (a pressão do gás é igual à pressão externa a cada instante).
  • Observação importante: para a fórmula fazer sentido físico, os volumes envolvidos devem satisfazer \;V>b\; (pois aparece V-b no denominador).

Passo 2

Transformar a relação dada para obter P em função de V — isso é necessário porque o trabalho será obtido integrando a pressão como função do volume.
Partimos de
V=\frac{RT}{P}+b.
Isolando P:
V-b=\frac{RT}{P}\quad\Rightarrow\quad P=\frac{RT}{V-b}.
Aqui P é a pressão do gás quando o volume molar é V. Note que, para 1 mol, V é o volume do sistema (já está em base molar).

Passo 3

Escrever a expressão do trabalho para um processo reversível isotérmico e decidir convenção de sinais.
  • Para um processo reversível, o trabalho realizado sobre o gás ao variar o volume de V_1 para V_2 é dado por W_{\text{on}}=-\int_{V_1}^{V_2} P\,dV,onde W_{\text{on}} é o trabalho feito sobre o gás (com a convenção usual: trabalho positivo quando feito sobre o sistema). Se preferir o trabalho realizado pelo gás, W_{\text{by}}=-W_{\text{on}}.
  • Como o processo é reversível, podemos usar P=\dfrac{RT}{V-b} dentro da integral.

Passo 4

Substituir P(V) na integral e calcular passo a passo.
Substituindo:
W_{\text{on}}=-\int_{V_1}^{V_2}\frac{RT}{V-b}\,dV.
Como R e T são constantes durante o processo isotérmico, podemos fatorá-los:
W_{\text{on}}=-RT\int_{V_1}^{V_2}\frac{1}{V-b}\,dV.
A integral de \dfrac{1}{V-b} é o logaritmo natural:
\int\frac{1}{V-b}\,dV=\ln|V-b|.
Portanto
W_{\text{on}}=-RT\big[\ln|V-b|\big]_{V_1}^{V_2}=-RT\big(\ln|V_2-b|-\ln|V_1-b|\big).
Usando propriedades dos logaritmos:
W_{\text{on}}=-RT\ln\!\left(\frac{V_2-b}{V_1-b}\right)=RT\ln\!\left(\frac{V_1-b}{V_2-b}\right).

Passo 5

Interpretação, domínio e forma alternativa (útil na prova).
  • Resultado final para o trabalho de compressão (trabalho feito sobre o gás) ao comprimir reversivelmente de V_1 para V_2: W_{\text{on}}=RT\ln\!\left(\frac{V_1-b}{V_2-b}\right).
  • Condição: V_1>b e V_2>b. Se V_2<V_1 (compressão), então \dfrac{V_1-b}{V_2-b}>1 e \ln é positivo, logo W_{\text{on}}>0 — faz sentido físico: trabalho positivo realizado sobre o gás.
  • Se quiser o trabalho realizado pelo gás, basta mudar o sinal: W_{\text{by}}=-RT\ln\!\left(\frac{V_1-b}{V_2-b}\right)=RT\ln\!\left(\frac{V_2-b}{V_1-b}\right).

Resposta

W=RT\ln\!\left(\dfrac{V_1-b}{V_2-b}\right)

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