Se o coeficiente de aderência fosse \mathrm{f}=450 \mathrm{~kg} / \mathrm{t} (terra solta), o esforço trator máximo não poderia ser aplicado, pois haveria patinamento. Qual seria a nova rampa limitada pela condição de aderência?

Passo 1

O enunciado pede: “Qual seria a nova rampa limitada pela condição de aderência” quando o coeficiente de aderência vale \mathrm{f}=450\\ \mathrm{kg/t}.
Informação fornecida explicitamente: \mathrm{f}=450\\ \mathrm{kg/t}.
Informações que faltam e são necessárias para obter um valor numérico da rampa (ângulo ou declividade):
  • a massa total do conjunto a ser vencido pela tração (tratores + carga) — vou chamar de M (em kg);
  • a massa apoiada sobre as rodas motrizes do trator, isto é, a carga vertical sobre as rodas que fornecem tração — vou chamar de W_d (em kg);
  • possivelmente a resistência rolante ou outros resistores (coeficiente de resistência rolante) — chamarei de c (adimensional), caso exista;
    Sem esses dados numéricos não dá para fornecer um ângulo numérico. Portanto não posso calcular um valor numérico final. Vou, porém, mostrar passo a passo como obter a nova rampa a partir de \mathrm{f}=450\\ \mathrm{kg/t}: a fórmula que você deve aplicar assim que tiver os dados.

Passo 2

O que significa \mathrm{f}=450\\ \mathrm{kg/t} e como transformar isso em força de tração máxima?
  • Número dado em \mathrm{kg/t} significa “quilograma-força por tonelada” (quilograma-força de tração disponível por 1000 kg de carga sobre as rodas motrizes).
  • Defino k como a fração correspondente: \displaystyle k=\frac{f}{1000}. Com f=450\\ \mathrm{kg/t} temos \displaystyle k=\frac{450}{1000}=0{,}45 (unidade: kgf por kg).
  • Se W_d é a massa (em kg) suportada pelas rodas motrizes, a tração máxima disponível em unidades de força (kgf) é \displaystyle T_{\max\,[\text{kgf}]}=k\;W_d.
  • Se você preferir trabalhar em Newtons, multiplica por g (com g\approx 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}): \displaystyle T_{\max}=k\,W_d\,g (em N). Mais adiante veremos que g normalmente cancela, então podemos trabalhar com massas e kgf.

Passo 3

Definição das variáveis (para organizar a resolução):
  • \displaystyle f : coeficiente dado em \mathrm{kg/t} (aqui 450\\ \mathrm{kg/t}).
  • \displaystyle k=\dfrac{f}{1000} : coeficiente adimensional em \mathrm{kgf}/\mathrm{kg} (aqui 0{,}45).
  • \displaystyle W_d : massa suportada pelas rodas motrizes (em kg).
  • \displaystyle M : massa total que deve ser vencida pela tração (trator + carga, em kg).
  • \displaystyle g : aceleração da gravidade ( 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}, aparece caso trabalhemos em N).
  • \displaystyle c : coeficiente de resistência rolante (adimensional). Se não houver dado, podemos primeiro ignorá-lo (caso mais simples).
  • \displaystyle \theta : ângulo da rampa (em rad ou graus) que queremos determinar — a “nova rampa limitada pela aderência”.

Passo 4

Força de tração máxima disponível (expressa em termos das variáveis):
Em unidades de massa-força (kgf):
T_{\max\,[\text{kgf}]}=k\,W_d.
Em unidades de Newton:
T_{\max}=k\,W_d\,g.
Observação importante: quando dividimos por M g (peso total em N), o g cancela, por isso é comum trabalhar com massas e com k sem converter para N.

Passo 5

Equilíbrio de forças ao longo da rampa — primeiro caso simples (ignorando resistência rolante):
  • A componente do peso que puxa o veículo para baixo da rampa vale \displaystyle M g \sin\theta.
  • Para que não haja patinamento, a tração disponível não pode ser menor que essa componente: \displaystyle T_{\max} \ge M g \sin\theta.
    Substituindo T_{\max}=k W_d g e dividindo por g:
k\,W_d \ge M \sin\theta.
Logo:
\sin\theta_{\max} = \frac{k\,W_d}{M}.
E portanto a inclinação máxima (ângulo) permitida pela aderência, no caso sem resistência rolante, é
\boxed{\displaystyle \theta_{\max}=\arcsin\!\left(\frac{k\,W_d}{M}\right).}
Explicação: esse resultado mostra que o ângulo máximo depende da razão entre a tração disponível (proporcional a W_d) e a massa total a ser vencida M. Note que é preciso ter \dfrac{kW_d}{M}\le 1; se for maior que 1 significa que a aderência é suficiente até rampa vertical (situação teórica) — na prática, outros limites apareceriam.

Passo 6

Comentário sobre unidades e domínio:
  • k=\dfrac{f}{1000}=0{,}45 (para f=450\\ \mathrm{kg/t}).
  • W_d e M devem estar na mesma unidade (kg).
  • Se \dfrac{kW_d}{M} > 1 então \theta_{\max} não é definido pelo arcsin (fisicamente significa que a aderência é maior do que o necessário para vencer até 90° no modelo simplificado) — na prática há outros limites (estrutura, transmissão).
  • Se \dfrac{kW_d}{M} < 1 então a fórmula acima dá o ângulo máximo.

Passo 7

Caso mais realista: incluindo resistência rolante com coeficiente c.
  • A força resistente total ao longo da rampa é M g (\sin\theta + c\cos\theta) (com c pequeno, por ex. 0{,}02- 0{,}05 para pneus em solo bom, valores dependem do problema).
  • Condição de limite da aderência:
k\,W_d\,g = M g \big(\sin\theta + c\cos\theta\big).
Dividindo por M g:
\frac{k\,W_d}{M} = \sin\theta + c\cos\theta.
Para resolver isso em \theta usamos a identidade trigonométrica \sin\theta + c\cos\theta = R\sin(\theta+\varphi), com
R=\sqrt{1+c^2},\qquad \varphi=\arctan\text{(c)}.
Assim:
\sin(\theta+\varphi)=\frac{k\,W_d}{M\,R}.
Portanto
\boxed{\displaystyle \theta_{\max}=\arcsin\!\left(\frac{k\,W_d}{M\sqrt{1+c^2}}\right)-\arctan\text{(c)}.}
Novamente é necessário que o argumento do arcsin esteja entre -1 e 1. Esse é o resultado geral incluindo resistência rolante linearizada pelo coeficiente c.

Passo 8

Como aplicar na prova: resumo prático (passo a passo que você pode reproduzir na prova)
  1. Converta f para k=\dfrac{f}{1000}. Com f=450\\ \mathrm{kg/t} obtém-se k=0{,}45.
  2. Identifique W_d (massa sobre as rodas motrizes) e M (massa total a ser vencida). Coloque ambos em kg.
  3. Se não houver resistência rolante conhecida, use a fórmula simples:
\theta_{\max}=\arcsin\!\left(\frac{k\,W_d}{M}\right).
  1. Se houver resistência rolante c, use a fórmula com rotação trigonométrica:
\theta_{\max}=\arcsin\!\left(\frac{k\,W_d}{M\sqrt{1+c^2}}\right)-\arctan\text{(c)}.
  1. Verifique o domínio do arcsin; se o argumento >1, a aderência não é o limite (no modelo simplificado).

Passo 9

Exemplo simbólico (para você ver a substituição): suponha que W_d=3000\\ \mathrm{kg} (massa sobre rodas motrizes) e M=6000\\ \mathrm{kg}, sem resistência rolante. Com k=0{,}45:
\sin\theta_{\max}=\frac{0{,}45\times 3000}{6000}=0{,}225,
então \theta_{\max}=\arcsin(0{,}225)\approx 13^\circ (apenas como ilustração — eu não inventei esses números para o seu problema, é só para mostrar o cálculo que você deve fazer quando souber W_d e M).

Resposta

Não é possível determinar numericamente a nova rampa porque faltam os dados de W_d (massa sobre as rodas motrizes) e M (massa total) e, se aplicável, o coeficiente de resistência rolante c. \n\nSe não houver resistência rolante, a rampa limite (ângulo) é \displaystyle \theta_{\max}=\arcsin\!\left(\dfrac{k\,W_d}{M}\right) com k=\dfrac{f}{1000}=0{,}45. \n\nSe houver resistência rolante c, a rampa limite é \displaystyle \theta_{\max}=\arcsin\!\left(\dfrac{k\,W_d}{M\sqrt{1+c^2}}\right)-\arctan\text{(c)}.

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