Se o coeficiente de aderência fosse
(terra solta), o esforço trator máximo não poderia ser aplicado, pois haveria patinamento. Qual seria a nova rampa limitada pela condição de aderência?
Passo 1
O enunciado pede: “Qual seria a nova rampa limitada pela condição de aderência” quando o coeficiente de aderência vale
.
Informação fornecida explicitamente: .
Informação fornecida explicitamente:
Informações que faltam e são necessárias para obter um valor numérico da rampa (ângulo ou declividade):
- a massa total do conjunto a ser vencido pela tração (tratores + carga) — vou chamar de
(em kg); - a massa apoiada sobre as rodas motrizes do trator, isto é, a carga vertical sobre as rodas que fornecem tração — vou chamar de
(em kg); - possivelmente a resistência rolante ou outros resistores (coeficiente de resistência rolante) — chamarei de
(adimensional), caso exista;
Sem esses dados numéricos não dá para fornecer um ângulo numérico. Portanto não posso calcular um valor numérico final. Vou, porém, mostrar passo a passo como obter a nova rampa a partir de: a fórmula que você deve aplicar assim que tiver os dados.
Passo 2
O que significa
e como transformar isso em força de tração máxima?
- Número dado em
significa “quilograma-força por tonelada” (quilograma-força de tração disponível por 1000 kg de carga sobre as rodas motrizes). - Defino
como a fração correspondente: . Com temos (unidade: kgf por kg). - Se
é a massa (em kg) suportada pelas rodas motrizes, a tração máxima disponível em unidades de força (kgf) é . - Se você preferir trabalhar em Newtons, multiplica por
(com ): (em N). Mais adiante veremos que normalmente cancela, então podemos trabalhar com massas e kgf.
Passo 3
Definição das variáveis (para organizar a resolução):
-
: coeficiente dado em (aqui ). -
: coeficiente adimensional em (aqui ). -
: massa suportada pelas rodas motrizes (em kg). -
: massa total que deve ser vencida pela tração (trator + carga, em kg). -
: aceleração da gravidade ( , aparece caso trabalhemos em N). -
: coeficiente de resistência rolante (adimensional). Se não houver dado, podemos primeiro ignorá-lo (caso mais simples). -
: ângulo da rampa (em rad ou graus) que queremos determinar — a “nova rampa limitada pela aderência”.
Passo 4
Força de tração máxima disponível (expressa em termos das variáveis):
Em unidades de massa-força (kgf):
Em unidades de massa-força (kgf):
Em unidades de Newton:
Observação importante: quando dividimos por
(peso total em N), o
cancela, por isso é comum trabalhar com massas e com
sem converter para N.
Passo 5
Equilíbrio de forças ao longo da rampa — primeiro caso simples (ignorando resistência rolante):
- A componente do peso que puxa o veículo para baixo da rampa vale
. - Para que não haja patinamento, a tração disponível não pode ser menor que essa componente:
.
Substituindoe dividindo por :
Logo:
E portanto a inclinação máxima (ângulo) permitida pela aderência, no caso sem resistência rolante, é
Explicação: esse resultado mostra que o ângulo máximo depende da razão entre a tração disponível (proporcional a
) e a massa total a ser vencida
. Note que é preciso ter
; se for maior que 1 significa que a aderência é suficiente até rampa vertical (situação teórica) — na prática, outros limites apareceriam.
Passo 6
Comentário sobre unidades e domínio:
-
(para ). -
e devem estar na mesma unidade (kg). - Se
então não é definido pelo arcsin (fisicamente significa que a aderência é maior do que o necessário para vencer até 90° no modelo simplificado) — na prática há outros limites (estrutura, transmissão). - Se
então a fórmula acima dá o ângulo máximo.
Passo 7
Caso mais realista: incluindo resistência rolante com coeficiente
.
- A força resistente total ao longo da rampa é
(com pequeno, por ex. - para pneus em solo bom, valores dependem do problema). - Condição de limite da aderência:
Dividindo por
:
Para resolver isso em
usamos a identidade trigonométrica
, com
Assim:
Portanto
Novamente é necessário que o argumento do arcsin esteja entre
e
. Esse é o resultado geral incluindo resistência rolante linearizada pelo coeficiente
.
Passo 8
Como aplicar na prova: resumo prático (passo a passo que você pode reproduzir na prova)
- Converta
para . Com obtém-se . - Identifique
(massa sobre as rodas motrizes) e (massa total a ser vencida). Coloque ambos em kg. - Se não houver resistência rolante conhecida, use a fórmula simples:
- Se houver resistência rolante
, use a fórmula com rotação trigonométrica:
- Verifique o domínio do arcsin; se o argumento >1, a aderência não é o limite (no modelo simplificado).
Passo 9
Exemplo simbólico (para você ver a substituição): suponha que
(massa sobre rodas motrizes) e
, sem resistência rolante. Com
:
então
(apenas como ilustração — eu não inventei esses números para o seu problema, é só para mostrar o cálculo que você deve fazer quando souber
e
).
Resposta
Não é possível determinar numericamente a nova rampa porque faltam os dados de
(massa sobre as rodas motrizes) e
(massa total) e, se aplicável, o coeficiente de resistência rolante
. \n\nSe não houver resistência rolante, a rampa limite (ângulo) é
com
. \n\nSe houver resistência rolante
, a rampa limite é
.