O coeficiente de expansão térmica a pressão constante se define por
a compressibilidade de volume a temperatura constante através de
. Considerando que ambas as grandezas são propriedades do sistema (independente do caminho), mostre que
.
Passo 1
O enunciado define duas propriedades termodinâmicas do volume
: o coeficiente de expansão térmica a pressão constante
e a compressibilidade isoterma
Queremos mostrar que
O que usaremos é que
é suficientemente suave para que as derivadas parciais de segunda ordem comutem (teorema de Schwarz).
Passo 2
Reescrevemos
e
em termos de logaritmo do volume, pois isso simplifica o manuseio de
. Basta notar que
Logo
Passo 3
Calculamos
usando a expressão de
:
Note que aqui o índice de cada derivada indica qual variável se mantém fixa.
Passo 4
Agora
a partir de
:
Passo 5
Como
é suave, vale a igualdade das derivadas mistas de segunda ordem (teorema de Schwarz):
Logo, comparando os resultados dos passos 3 e 4, obtemos