Mostre que para um gás ideal, a diferença do calor específico a pressão constante e a volume constante pode ser escrita da forma C_{P}-C_{V}=\frac{1}{n} \frac{T V \beta^{2}}{\kappa}.
Dica: use a equação de estado P V=n R T para derivar \beta e к. Substitua na expressão acima e verifique se o resultado encontrado corresponde à constante dos gases ideais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num gás ideal, a diferença dos calores específicos a pressão constante e a volume constante,
C_{P} - C_{V}
pode ser escrita como
\frac{1}{n}\,\frac{T\,V\,\beta^{2}}{\kappa}\,,
onde usamos as definições
\beta = \frac{1}{V}\Bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\Bigr)_{P} \quad\text{e}\quad \kappa = -\,\frac{1}{V}\Bigl(\frac{\partial V}{\partial P}\Bigr)_{T}\,.
O objetivo é usar a equação de estado
P\,V = n\,R\,T
para calcular \beta e \kappa, substituir na expressão dada e verificar que C_{P}-C_{V}=R, tal como sabemos para o gás ideal.

Passo 2

Partimos da equação de estado do gás ideal em forma explícita:
V(T,P)=\frac{n\,R\,T}{P}\,.
Das definições temos:
\beta = \frac{1}{V}\Bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\Bigr)_{P}, \qquad \kappa = -\,\frac{1}{V}\Bigl(\frac{\partial V}{\partial P}\Bigr)_{T}.

Passo 3

Calculemos \beta e \kappa:
  1. Derivada de V em relação a T à pressão constante:
\Bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\Bigr)_{P} = \frac{n\,R}{P} \quad\Longrightarrow\quad \beta = \frac{1}{V}\,\frac{n\,R}{P} = \frac{1}{\frac{n\,R\,T}{P}}\,\frac{n\,R}{P} = \frac{1}{T}.
  1. Derivada de V em relação a P à temperatura constante:
\Bigl(\frac{\partial V}{\partial P}\Bigr)_{T} = -\,\frac{n\,R\,T}{P^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \kappa = -\,\frac{1}{V}\,\Bigl(-\frac{n\,R\,T}{P^{2}}\Bigr) = \frac{1}{\frac{n\,R\,T}{P}}\,\frac{n\,R\,T}{P^{2}} = \frac{1}{P}.

Passo 4

Agora substituímos \beta=1/T e \kappa=1/P em
\frac{1}{n}\,\frac{T\,V\,\beta^{2}}{\kappa} =\frac{1}{n}\,\frac{T\,V\,(1/T)^{2}}{1/P} =\frac{1}{n}\,\biggl(\frac{T\,V}{T^{2}}\biggr)\,P =\frac{1}{n}\,\frac{P\,V}{T}
e, usando P\,V=n\,R\,T,
\frac{1}{n}\,\frac{P\,V}{T} =\frac{1}{n}\,\frac{n\,R\,T}{T} =R.

Resposta

Para o gás ideal tem-se
C_{P}-C_{V}=R,
mostrando que a forma proposta
\frac{1}{n}\,\frac{T\,V\,\beta^{2}}{\kappa}
de fato se reduz à constante universal dos gases ideais.

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