Um coelho percorre, a cada segundo, metade da distância entre seu nariz e um pé de alface. O coelho consegue alcançar o pé de alface? Qual o valor limite da velocidade do coelho? Trace os gráficos da posição e da velocidade média versus o tempo para o movimento do coelho.

Passo 1

O enunciado dá a regra: a cada segundo o coelho percorre metade da distância que ainda existe entre o seu nariz e o pé de alface. Isso significa que, em cada segundo, a distância do nariz ao pé de alface é reduzida à metade.
Informações que vamos usar (peguei tudo do enunciado):
  • Distância inicial entre o nariz do coelho e o pé de alface: \,d_0 (tomamos \,d_0>0 como dado).
  • Em cada segundo o coelho percorre metade da distância restante.
Perguntas que o enunciado faz:
  1. O coelho consegue alcançar o pé de alface (em tempo finito)?
  2. Qual o valor limite da velocidade do coelho?
  3. Traçar (descrever como traçar) os gráficos da posição e da velocidade média versus o tempo para esse movimento.

Passo 2

Modelagem matemática do problema (definição das grandezas).
  • Coloco o pé de alface na posição 0 numa reta e o coelho inicialmente em x=d_0 (distância até o alface).
  • Defino \,x_n como a distância do nariz ao alface imediatamente após n segundos (ou seja, no instante t=n, com n=0,1,2,\dots).
    A regra “a cada segundo percorre metade da distância restante” dá a recorrência
x_{n}=\tfrac{1}{2}\,x_{n-1},\qquad x_0=d_0.
Isto significa que a distância é multiplicada por \tfrac{1}{2} a cada segundo.

Passo 3

Resolver a recorrência para obter a fórmula fechada da posição.
A relação x_{n}=\tfrac{1}{2}x_{n-1} com x_0=d_0 é uma progressão geométrica. Aplicando o fator \tfrac{1}{2} n vezes, obtemos
x_n = d_0\left(\tfrac{1}{2}\right)^n,\qquad n=0,1,2,\dots
Explicando passo a passo: para n=1 temos x_1=\tfrac{1}{2}d_0; para n=2 temos x_2=\tfrac{1}{2}x_1=\tfrac{1}{2}(\tfrac{1}{2}d_0)=d_0(\tfrac{1}{2})^2; e assim por diante — por indução chega-se à fórmula geral acima.

Passo 4

Analisar se o coelho alcança o alface em tempo finito.
Alcançar o alface em tempo finito significaria existir algum n inteiro tal que x_n=0. Pela fórmula x_n=d_0(\tfrac{1}{2})^n temos sempre x_n>0 para todo n finito, pois d_0>0 e (\tfrac{1}{2})^n>0. Logo não existe n finito com x_n=0. Portanto, o coelho NÃO alcança o pé de alface em tempo finito.
No entanto, o limite quando n\to\infty de x_n é
\lim_{n\to\infty} x_n = \lim_{n\to\infty} d_0\left(\tfrac{1}{2}\right)^n = 0,
pois \left(\tfrac{1}{2}\right)^n\to0 quando n\to\infty. Assim o coelho aproxima-se arbitrariamente do alface e só o alcança no limite t\to\infty.

Passo 5

Definir e calcular a velocidade média por segundo (no n-ésimo segundo).
Chamo de velocidade média no n-ésimo segundo o deslocamento efetuado durante o intervalo (n-1,n] dividido por 1 segundo. O deslocamento naquele segundo é
\Delta x_n = x_{n-1}-x_n.
Usando a fórmula de x_n,
\Delta x_n = d_0\left(\tfrac{1}{2}\right)^{\,n-1} - d_0\left(\tfrac{1}{2}\right)^n = d_0\left(\tfrac{1}{2}\right)^n.
Como o intervalo de tempo é 1 segundo, a velocidade média nesse segundo é
v_n = \Delta x_n = d_0\left(\tfrac{1}{2}\right)^n,\qquad n=1,2,3,\dots
(ou seja, a velocidade média no primeiro segundo é v_1=d_0/2, no segundo segundo é v_2=d_0/4, etc.)

Passo 6

Calcular o limite da velocidade média quando n\to\infty.
Como \left(\tfrac{1}{2}\right)^n\to0 quando n\to\infty, temos
\lim_{n\to\infty} v_n = \lim_{n\to\infty} d_0\left(\tfrac{1}{2}\right)^n = 0.
Portanto a velocidade média tende a zero quando o tempo cresce indefinidamente. Esse é o “valor limite da velocidade do coelho” pedido: zero.

Passo 7

Interpretação física adicional e soma das distâncias percorridas.
Uma pergunta útil é: qual é a soma de todos os deslocamentos que o coelho faz ao longo do tempo? Soma das velocidades médias (deslocamentos) por segundo:
\sum_{n=1}^{\infty} v_n = \sum_{n=1}^{\infty} d_0\left(\tfrac{1}{2}\right)^n = d_0\sum_{n=1}^{\infty}\left(\tfrac{1}{2}\right)^n.
A soma infinita de uma progressão geométrica com primeira razão \tfrac{1}{2} vale
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\tfrac{1}{2}\right)^n = \frac{\tfrac{1}{2}}{1-\tfrac{1}{2}} = 1.
Logo
\sum_{n=1}^{\infty} v_n = d_0.
Isto diz que, somando todos os deslocamentos, o coelho percorre exatamente a distância inicial \,d_0 — ou seja, ao somar infinitos passos ele chega ao alface. Mas isso exige um tempo infinito; por isso não chega em tempo finito.

Passo 8

Como traçar os gráficos (instruções passo a passo e exemplo numérico para desenhar à mão).
Sugestão: para simplificar, escolha \,d_0=1 (metre, unidade qualquer). Então
x_n=\left(\tfrac{1}{2}\right)^n,\qquad v_n=\left(\tfrac{1}{2}\right)^n.
Tabela de valores (alguns pontos).
\begin{array}{c|cccccc} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\hline x_n & 1 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{8} & \tfrac{1}{16} & \tfrac{1}{32}\\\ v_{n} & - & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{8} & \tfrac{1}{16} & \tfrac{1}{32} \end{array}
Instruções para desenhar:
  • Gráfico da posição versus tempo:
    • No eixo horizontal coloque t (tempo, valores inteiros 0,1,2,\dots).
    • No eixo vertical desenhe x_n.
    • Plote os pontos (0,1),(1,\tfrac{1}{2}),(2,\tfrac{1}{4}),\dots.
    • Ligue os pontos por uma curva decrescente suave (envelope exponencial) ou apenas marque os pontos. O formato é de decaimento exponencial; os pontos caem rapidamente e tendem a zero.
  • Gráfico da velocidade média versus tempo:
    • Eixo horizontal t (use o índice do segundo, por exemplo use 1,2,3,\dots para as velocidades).
    • Eixo vertical v_n.
    • Plote (1,\tfrac{1}{2}),(2,\tfrac{1}{4}),(3,\tfrac{1}{8}),\dots.
    • Novamente os pontos descrevem um decaimento exponencial para zero.
      Observação sobre visualização: tanto x_n quanto v_n são da forma C(\tfrac{1}{2})^n, portanto têm o mesmo formato em escala vertical; a única diferença é que x_0 existe e é d_0, enquanto v_n começa em n=1.

Passo 9

Resumo didático e motivacional (curto).
  • O coelho nunca alcança o pé de alface em um número finito de segundos; ele se aproxima cada vez mais e só “alcançaria” depois de tempo infinito.
  • A velocidade média por segundo tende a zero: o coelho vai ficando cada vez mais lento (em média).
  • Para desenhar os gráficos, use os pontos da progressão geométrica d_0(\tfrac{1}{2})^n; ambos os gráficos são decaimentos exponenciais que tendem a zero.

Resposta

O coelho não alcança o pé de alface em tempo finito; aproxima-se dele e só o alcança no limite t\to\infty.
O valor limite da velocidade média é 0.
Gráficos: posição x_n=d_0\left(\tfrac{1}{2}\right)^n e velocidade média v_n=d_0\left(\tfrac{1}{2}\right)^n versus n (ambos decaimentos exponenciais, plotar os pontos (n,x_n) e (n,v_n) para n=0,1,2,\dots).