Um coelho percorre, a cada segundo, metade da distância entre seu nariz e um pé de alface. O coelho consegue alcançar o pé de alface? Qual o valor limite da velocidade do coelho? Trace os gráficos da posição e da velocidade média versus o tempo para o movimento do coelho.
Passo 1
O enunciado dá a regra: a cada segundo o coelho percorre metade da distância que ainda existe entre o seu nariz e o pé de alface. Isso significa que, em cada segundo, a distância do nariz ao pé de alface é reduzida à metade.
Informações que vamos usar (peguei tudo do enunciado):
- Distância inicial entre o nariz do coelho e o pé de alface:
(tomamos como dado). - Em cada segundo o coelho percorre metade da distância restante.
Perguntas que o enunciado faz:
- O coelho consegue alcançar o pé de alface (em tempo finito)?
- Qual o valor limite da velocidade do coelho?
- Traçar (descrever como traçar) os gráficos da posição e da velocidade média versus o tempo para esse movimento.
Passo 2
Modelagem matemática do problema (definição das grandezas).
- Coloco o pé de alface na posição
numa reta e o coelho inicialmente em (distância até o alface). - Defino
como a distância do nariz ao alface imediatamente após segundos (ou seja, no instante , com ).
A regra “a cada segundo percorre metade da distância restante” dá a recorrência
Isto significa que a distância é multiplicada por
a cada segundo.
Passo 3
Resolver a recorrência para obter a fórmula fechada da posição.
A relação com
é uma progressão geométrica. Aplicando o fator
n vezes, obtemos
A relação
Explicando passo a passo: para
temos
; para
temos
; e assim por diante — por indução chega-se à fórmula geral acima.
Passo 4
Analisar se o coelho alcança o alface em tempo finito.
Alcançar o alface em tempo finito significaria existir algum inteiro tal que
. Pela fórmula
temos sempre
para todo
finito, pois
e
. Logo não existe
finito com
. Portanto, o coelho NÃO alcança o pé de alface em tempo finito.
Alcançar o alface em tempo finito significaria existir algum
No entanto, o limite quando
de
é
pois
quando
. Assim o coelho aproxima-se arbitrariamente do alface e só o alcança no limite
.
Passo 5
Definir e calcular a velocidade média por segundo (no n-ésimo segundo).
Chamo de velocidade média no n-ésimo segundo o deslocamento efetuado durante o intervalo dividido por
segundo. O deslocamento naquele segundo é
Chamo de velocidade média no n-ésimo segundo o deslocamento efetuado durante o intervalo
Usando a fórmula de
,
Como o intervalo de tempo é
segundo, a velocidade média nesse segundo é
(ou seja, a velocidade média no primeiro segundo é
, no segundo segundo é
, etc.)
Passo 6
Calcular o limite da velocidade média quando
.
Como quando
, temos
Como
Portanto a velocidade média tende a zero quando o tempo cresce indefinidamente. Esse é o “valor limite da velocidade do coelho” pedido: zero.
Passo 7
Interpretação física adicional e soma das distâncias percorridas.
Uma pergunta útil é: qual é a soma de todos os deslocamentos que o coelho faz ao longo do tempo? Soma das velocidades médias (deslocamentos) por segundo:
Uma pergunta útil é: qual é a soma de todos os deslocamentos que o coelho faz ao longo do tempo? Soma das velocidades médias (deslocamentos) por segundo:
A soma infinita de uma progressão geométrica com primeira razão
vale
Logo
Isto diz que, somando todos os deslocamentos, o coelho percorre exatamente a distância inicial
— ou seja, ao somar infinitos passos ele chega ao alface. Mas isso exige um tempo infinito; por isso não chega em tempo finito.
Passo 8
Como traçar os gráficos (instruções passo a passo e exemplo numérico para desenhar à mão).
Sugestão: para simplificar, escolha (metre, unidade qualquer). Então
Sugestão: para simplificar, escolha
Tabela de valores (alguns pontos).
Instruções para desenhar:
- Gráfico da posição versus tempo:
- No eixo horizontal coloque
(tempo, valores inteiros ). - No eixo vertical desenhe
. - Plote os pontos
. - Ligue os pontos por uma curva decrescente suave (envelope exponencial) ou apenas marque os pontos. O formato é de decaimento exponencial; os pontos caem rapidamente e tendem a zero.
- No eixo horizontal coloque
- Gráfico da velocidade média versus tempo:
- Eixo horizontal
(use o índice do segundo, por exemplo use 1,2,3,\dots para as velocidades). - Eixo vertical
. - Plote
. - Novamente os pontos descrevem um decaimento exponencial para zero.
Observação sobre visualização: tantoquanto são da forma , portanto têm o mesmo formato em escala vertical; a única diferença é que existe e é , enquanto começa em .
- Eixo horizontal
Passo 9
Resumo didático e motivacional (curto).
- O coelho nunca alcança o pé de alface em um número finito de segundos; ele se aproxima cada vez mais e só “alcançaria” depois de tempo infinito.
- A velocidade média por segundo tende a zero: o coelho vai ficando cada vez mais lento (em média).
- Para desenhar os gráficos, use os pontos da progressão geométrica
; ambos os gráficos são decaimentos exponenciais que tendem a zero.
Resposta
O coelho não alcança o pé de alface em tempo finito; aproxima-se dele e só o alcança no limite
.
O valor limite da velocidade média é .
Gráficos: posição e velocidade média
versus
(ambos decaimentos exponenciais, plotar os pontos
e
para
).
O valor limite da velocidade média é
Gráficos: posição