(CN) Um cofre é equipado com um sistema automático que o destranca por um minuto e volta a trancá-lo se não for aberto.Tal sistema tem dois dispositivos independentes: um que dispara de 46 minutos em 46 minutos, após ser ligado o sistema, e o outro de 34 minutos em 34 minutos. Sabendo-se que o cofre pode ser aberto tanto por um, quanto pelo outro dispositivo, e que um não anula o outro, quantas vezes por dia pode-se dispor do cofre para abertura, sendo o sistema ligado à zero hora?
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b) 73
c) 72
d) 71

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que temos e o que é pedido):
  • Dois dispositivos independentes disparam periodicamente após o sistema ser ligado em 0 hora:
    • Um dispara a cada 46 minutos.
    • O outro dispara a cada 34 minutos.
  • Cada disparo destranca o cofre por 1 minuto.
  • Um disparo não anula o outro (ou seja, se os dois disparam ao mesmo tempo, o cofre fica destrancado, mas isso não deve ser contado duas vezes).
  • Queremos saber quantas vezes por dia (dia = 24 horas) se pode dispor do cofre para abertura, sabendo que o sistema é ligado em 0 hora.
Informações numéricas úteis que já extraí:
  • Um dia tem 24 horas = 24\cdot 60 = 1440 minutos.
  • Os disparos ocorrem em múltiplos positivos de 46 e de 34 minutos a partir de 0 (isto é, em 46,92,\dots e 34,68,\dots), não contando 0.

Passo 2

Como contar quantos disparos cada dispositivo faz em 1440 minutos:
  • Um dispositivo que dispara a cada T minutos terá disparos nos tempos T,2T,3T,\dots enquanto kT\le 1440.
  • O número de disparos desse dispositivo em um dia é, portanto, o maior inteiro k tal que kT\le 1440. Em linguagem matemática isso é o piso de \dfrac{1440}{T}, ou seja \left\lfloor\dfrac{1440}{T}\right\rfloor.
  • Exemplo rápido para fixar a ideia: se T=30, \dfrac{1440}{30}=48 e o dispositivo dispara 48 vezes (em 30,60,\dots,1440).

Passo 3

Calcular o número de disparos do dispositivo de 46 minutos:
  • Vamos calcular \left\lfloor\dfrac{1440}{46}\right\rfloor.
  • Calculemos 46\cdot 31 = 46\cdot 30 + 46 = 1380 + 46 = 1426, e 46\cdot 32 = 1472 > 1440.
  • Logo \left\lfloor\dfrac{1440}{46}\right\rfloor = 31.
  • Conclusão: o dispositivo de 46 minutos dispara 31 vezes por dia.

Passo 4

Calcular o número de disparos do dispositivo de 34 minutos:
  • Vamos calcular \left\lfloor\dfrac{1440}{34}\right\rfloor.
  • Calculemos 34\cdot 42 = 34\cdot 40 + 34\cdot 2 = 1360 + 68 = 1428, e 34\cdot 43 = 1462 > 1440.
  • Logo \left\lfloor\dfrac{1440}{34}\right\rfloor = 42.
  • Conclusão: o dispositivo de 34 minutos dispara 42 vezes por dia.

Passo 5

Contar os disparos simultâneos (quando ambos disparam exatamente ao mesmo tempo):
  • Quando ambos disparam juntos, o instante é múltiplo comum de 46 e 34, isto é, múltiplo do mínimo múltiplo comum \mathrm{lcm}(46,34).
  • Para calcular \mathrm{lcm} usamos a relação \mathrm{lcm}(a,b)=\dfrac{a\cdot b}{\gcd(a,b)}.
  • Calculemos \gcd(46,34). Note que 46=2\cdot 23 e 34=2\cdot 17, logo \gcd(46,34)=2.
  • Então
\mathrm{lcm}(46,34)=\dfrac{46\cdot 34}{2} = 23\cdot 34 = 782.
  • Agora contamos quantos múltiplos de 782 cabem em 1440: \left\lfloor\dfrac{1440}{782}\right\rfloor.
  • Como 782\cdot 1 = 782 \le 1440 e 782\cdot 2 = 1564 > 1440, temos \left\lfloor\dfrac{1440}{782}\right\rfloor = 1.
  • Conclusão: há exatamente 1 instante no dia em que ambos disparam simultaneamente.

Passo 6

Aplicar a contagem combinada (princípio da inclusão-exclusão) para evitar dupla contagem:
  • Se somarmos 31 (do disparo de 46 min) e 42 (do disparo de 34 min) estaremos contando duas vezes os disparos simultâneos.
  • Portanto o número total distinto de instantes em que o cofre fica destrancado é
31 + 42 - 1 = 72.
  • Intuição prática: 31 aberturas vindas do primeiro, 42 do segundo, mas o instante comum foi contado duas vezes e precisa ser subtraído uma vez.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida:
  • Os cálculos intermediários foram checados multiplicando os períodos pelos contadores para garantir que não ultrapassam 1440.
  • O resultado final é coerente e inteiro, e corresponde ao número de instantes por dia em que o cofre fica destrancado por pelo menos um dos dispositivos.

Resposta

(c) 72