(CN) Um cofre é equipado com um sistema automático que o destranca por um minuto e volta a trancá-lo se não for aberto.Tal sistema tem dois dispositivos independentes: um que dispara de 46 minutos em 46 minutos, após ser ligado o sistema, e o outro de 34 minutos em 34 minutos. Sabendo-se que o cofre pode ser aberto tanto por um, quanto pelo outro dispositivo, e que um não anula o outro, quantas vezes por dia pode-se dispor do cofre para abertura, sendo o sistema ligado à zero hora?
a) 74
b) 73
c) 72
d) 71
a) 74
b) 73
c) 72
d) 71
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que temos e o que é pedido):
- Dois dispositivos independentes disparam periodicamente após o sistema ser ligado em
hora: - Um dispara a cada
minutos. - O outro dispara a cada
minutos.
- Um dispara a cada
- Cada disparo destranca o cofre por
minuto. - Um disparo não anula o outro (ou seja, se os dois disparam ao mesmo tempo, o cofre fica destrancado, mas isso não deve ser contado duas vezes).
- Queremos saber quantas vezes por dia (dia =
horas) se pode dispor do cofre para abertura, sabendo que o sistema é ligado em hora.
Informações numéricas úteis que já extraí:
- Um dia tem
horas minutos. - Os disparos ocorrem em múltiplos positivos de
e de minutos a partir de (isto é, em e ), não contando .
Passo 2
Como contar quantos disparos cada dispositivo faz em
minutos:
- Um dispositivo que dispara a cada
minutos terá disparos nos tempos enquanto . - O número de disparos desse dispositivo em um dia é, portanto, o maior inteiro
tal que . Em linguagem matemática isso é o piso de , ou seja . - Exemplo rápido para fixar a ideia: se
, e o dispositivo dispara vezes (em ).
Passo 3
Calcular o número de disparos do dispositivo de
minutos:
- Vamos calcular
. - Calculemos
, e . - Logo
. - Conclusão: o dispositivo de
minutos dispara vezes por dia.
Passo 4
Calcular o número de disparos do dispositivo de
minutos:
- Vamos calcular
. - Calculemos
, e . - Logo
. - Conclusão: o dispositivo de
minutos dispara vezes por dia.
Passo 5
Contar os disparos simultâneos (quando ambos disparam exatamente ao mesmo tempo):
- Quando ambos disparam juntos, o instante é múltiplo comum de
e , isto é, múltiplo do mínimo múltiplo comum . - Para calcular
usamos a relação . - Calculemos
. Note que e , logo . - Então
- Agora contamos quantos múltiplos de
cabem em : . - Como
e , temos . - Conclusão: há exatamente
instante no dia em que ambos disparam simultaneamente.
Passo 6
Aplicar a contagem combinada (princípio da inclusão-exclusão) para evitar dupla contagem:
- Se somarmos
(do disparo de min) e (do disparo de min) estaremos contando duas vezes os disparos simultâneos. - Portanto o número total distinto de instantes em que o cofre fica destrancado é
- Intuição prática:
aberturas vindas do primeiro, do segundo, mas o instante comum foi contado duas vezes e precisa ser subtraído uma vez.
Passo 7
Interpretação final e checagem rápida:
- Os cálculos intermediários foram checados multiplicando os períodos pelos contadores para garantir que não ultrapassam
. - O resultado final é coerente e inteiro, e corresponde ao número de instantes por dia em que o cofre fica destrancado por pelo menos um dos dispositivos.
Resposta
(c)