Em uma colisão entre um próton em repouso e um próton em movimento, uma partícula de massa de repouso M é produzida, além dos dois prótons, todos em repouso. Encontre a energia mínima que o próton em movimento deve ter para que esse processo ocorra. Qual seria a energia correspondente se os prótons originais estivessem se movendo um em direção ao outro com velocidades iguais?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma colisão entre prótons onde uma partícula nova é criada. Vamos usar conceitos de relatividade e conservação de energia e momento. Precisamos calcular a energia mínima que o próton em movimento deve ter para que essa criação aconteça. Também vamos ver o que acontece se os prótons estiverem se mexendo um em direção ao outro com a mesma velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que na colisão, a energia total deve ser suficiente para produzir a nova partícula de massa M além dos prótons que ficam em repouso. Usaremos a conservação de energia e a de momento.

Passo 3

Vamos considerar o próton em repouso como a partícula inicial. O próton em movimento tem uma energia cinética que precisamos encontrar. A energia total antes da colisão é a energia do próton em movimento mais a energia de repouso do próton parado.

Passo 4

Após a colisão, temos dois prótons em repouso e a partícula de massa M. A energia total após a colisão é a soma das energias de repouso dessas três partículas. Como tudo está em repouso, não há energia cinética.

Passo 5

Aplicando a conservação de energia:
Einicial = Efinal
Epróton em movimento + Epróton parado = 2mc^2 + Mc^2 óó
Onde m é a massa do próton.

Passo 6

Sabendo que Epróton parado = mc^2ó, substituímos:
Epróton em movimento + mc^2 = 2mc^2 + Mc^2 ó
Isolando Epróton em movimentoó:
Epróton em movimento = mc^2 + Mc^2 ó

Passo 7

A energia mínima do próton em movimento é:
Emín = (M + m)c^2 í

Passo 8

Agora, se os dois prótons estão se movendo um em direção ao outro com a mesma velocidade, o momento total no sistema é zero, o que facilita a conservação de energia. A energia mínima será a mesma, mas distribuída entre os dois prótons.

Passo 9

Cada próton precisa ter metade da energia mínima calculada anteriormente, já que ambos contribuem igualmente:
Ecada próton = (M + m)c^22 ó

Resposta

A energia mínima que o próton em movimento deve ter é (M + m)c²². Se os dois prótons estiverem se movendo um em direção ao outro com velocidades iguais, cada próton terá uma energia de (M + m)c²2².

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