Uma coluna confeccionada com o aço adotado nessa avaliação possui comprimento igual a 112 cm , com seção rectangular b=\mathbf{1} \frac{\mathbf{5}^{\prime \prime}}{16} ; h=4 \frac{19^{\prime \prime}}{32} e coeficiente de segurança é igual a 2,4 .
a. Coluna é engastada de um lado e presa por pino no outro, determine:
i. A tensão de flambagem;
ii. A carga de flambagem;
iii. A carga flambagem admissível:
iv. A tensão de flambagem admissível;
v. Dimensione mantendo a proporcionalidade da seção.

Passo 1

O enunciado dá uma coluna de aço com comprimento L=112,cm, seção retangular de base
b=1\frac{5}{16}''=1,3125''\times2,54\frac{\text{cm}}{''}=3,33575\text{ cm}=0,0333575\text{ m},
e altura
h=4\frac{19}{32}''=4,59375''\times2,54\frac{\text{cm}}{''}=11,666625\text{ cm}=0,11666625\text{ m}.
A segurança é \text{SF}=2,4. A coluna é engastada em uma extremidade e articulada (pino) na outra, logo o coeficiente de comprimento efetivo vale K\approx0,7. Vamos precisar de fórmula de Euler para flambagem, momento de inércia mínimo da seção e área da seção.

Passo 2

Converter medidas e calcular propriedades geométricas da seção:
A = b\,h = 0,0333575\;\times0,11666625 = 3,889\times10^{-3}\text{ m}^2.
O segundo momento de inércia mínimo ocorre em torno do eixo que faz pender pela menor dimensão (ângulo de flambagem em torno do eixo que usa b^3), isto é
I_{\min} = \frac{h\,b^3}{12} = \frac{0,11666625\,(0,0333575)^3}{12} \approx3,61\times10^{-7}\text{ m}^4.
O raio de giração fica
r = \sqrt{\frac{I_{\min}}{A}} =\sqrt{\frac{3,61\times10^{-7}}{3,889\times10^{-3}}} \approx9,64\times10^{-3}\text{ m}.
O comprimento efetivo é
L_e = K\,L = 0,7\times1,12\text{ m} = 0,784\text{ m},
e a esbeltez
\lambda = \frac{L_e}{r}\approx\frac{0,784}{9,64\times10^{-3}}\approx81{,}3.

Passo 3

A tensão crítica de Euler é
\sigma_\mathrm{cr} =\frac{\pi^2\,E}{\lambda^2},
com E=210\times10^9,Pa, logo
\sigma_\mathrm{cr} =\frac{\pi^2\times210\times10^9}{(81{,}3)^2} \approx3,13\times10^8\text{ Pa} =313{,}4\text{ MPa}.

Passo 4

A carga crítica de flambagem é
P_\mathrm{cr} = \sigma_\mathrm{cr}\,A =3,134\times10^8\;\times3,889\times10^{-3} \approx1,218\times10^6\text{ N} =1218\text{ kN}.
A carga admissível (dividida pela segurança) é
P_\mathrm{adm} = \frac{P_\mathrm{cr}}{\text{SF}} =\frac{1,218\times10^6}{2,4} \approx5,075\times10^5\text{ N} =507{,}5\text{ kN}.
E a tensão admissível é
\sigma_\mathrm{adm} = \frac{\sigma_\mathrm{cr}}{\text{SF}} =\frac{313{,}4\text{ MPa}}{2,4} \approx130{,}6\text{ MPa}.

Passo 5

Para dimensionar uma nova seção retangular mantendo a proporcionalidade h/b=\alpha (aqui \alpha=\tfrac{h}{b}=3{,}5) e garantir uma carga admissível P_d, procede-se assim:
  1. Escrever h=\alpha\,b.
  2. O momento de inércia mínimo fica
I_{\min}(b)=\frac{h\,b^3}{12} =\frac{\alpha\,b^4}{12}.
  1. A carga admissível de Euler com fator de segurança é
P_\mathrm{adm} =\frac{1}{\text{SF}}\, \frac{\pi^2\,E\,I_{\min}(b)}{L_e^2} =\frac{\pi^2\,E\,\alpha}{12\,\text{SF}\,L_e^2}\;b^4.
  1. Igualar a P_d e resolver para b:
b =\biggl[ \frac{12\,\text{SF}\,L_e^2\,P_d} {\pi^2\,E\,\alpha} \biggr]^{1/4}, \quad h=\alpha\,b.
Assim obtêm-se as dimensões b e h que garantem, com a mesma proporção, a capacidade de flambagem admissível desejada.

Resposta

i. \sigma_\mathrm{cr}=313{,}4 MPa
ii. P_\mathrm{cr}=1218 kN
iii. P_\mathrm{adm}=507{,}5 kN
iv. \sigma_\mathrm{adm}=130{,}6 MPa
v. Mantendo h/b=3{,}5, as novas dimensões satisfazem
b =\Bigl[\tfrac{12\,\mathrm{SF}\,L_e^2\,P_d}{\pi^2\,E\,\alpha}\Bigr]^{1/4}, \quad h=3{,}5\,b,
onde P_d é a carga de projeto a atender.

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