(a) Começando pelas relações de comutação canônicas para posição e momento / resolva os seguintes comutadores:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver alguns comutadores envolvendo o momento angular $ L_z $, as coordenadas de posição $ x, y, z $ e os momentos $ p_x, p_y, p_z $. Isso tudo está dentro da área da Mecânica Quântica, especialmente usando as relações de comutação canônicas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como o momento angular é definido e como funcionam os comutadores entre operadores de posição e momento.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição do operador de momento angular $ L_z $. Ele é dado por:
Agora, vamos resolver cada um dos comutadores passo a passo.
Passo 3
Vamos começar com o primeiro comutador: $ [L_z, x] $.
Substituindo $ L_z $:
Sabemos que $ [x, x] = 0 $ e $ [p_y, x] = 0 $ porque $ p_y $ e $ x $ comutam (são operadores que atuam em direções diferentes). Portanto:
Passo 4
Agora, vamos para o segundo comutador: $ [L_z, y] $.
Usando a definição de $ L_z $:
Sabemos que $ [y, y] = 0 $ e $ [p_x, y] = 0 $ porque $ p_x $ e $ y $ comutam. Portanto:
Passo 5
Vamos agora para o terceiro comutador: $ [L_z, z] $.
Novamente, substituindo $ L_z $:
Aqui, $ [z, x] = [z, y] = 0 $ e $ [p_y, z] = [p_x, z] = 0 $, já que $ z $ comuta com $ x $ e $ y $, e seus momentos também. Assim:
Passo 6
Agora, vamos resolver os comutadores envolvidos nos momentos $ p_x, p_y, p_z $. Primeiro, $ [L_z, p_x] $.
Substituindo $ L_z $:
Sabemos que $ [p_x, p_x] = 0 $ e $ [x, p_x] = i \hbar $. Então:
Passo 7
Em seguida, vamos para $ [L_z, p_y] $.
Usando $ L_z $:
Sabemos que $ [p_y, p_y] = 0 $ e $ [y, p_y] = i \hbar $. Então:
Passo 8
Por último, vamos resolver $ [L_z, p_z] $.
Substituindo $ L_z $:
Aqui, $ [p_y, p_z] = [p_x, p_z] = 0 $ e $ [x, p_z] = [y, p_z] = 0 $, já que $ p_z $ comuta com $ x $ e $ y $. Assim:
Resposta
Portanto, os comutadores resolvidos são: