Comente sobre os seguintes tópicos:
como se comporta a conversão de A para uma reação A \rightarrow B+C (de primeira ordem em relação a A) em um reator catalítico de leito fluidizado perfeitamente misturado (modelado como CSTR) em função do tempo quando submetido a um processo de desativação de primeira ordem em relação à atividade e em relação à concentração de A? Apresente sua resposta na forma de um esboço gráfico.

Passo 1

O enunciado trata da reação de primeira ordem em A,
A \rightarrow B + C,
num reator de leito fluidizado perfeitamente misturado (CSTR), em que a atividade catalítica a se desativa por um processo de primeira ordem simultaneamente em relação a a e à concentração de A. Precisamos comentar como a conversão X evolui no tempo de operação do reator e apresentar um esboço gráfico de X versus t.

Passo 2

Escrevendo as cinéticas:
  1. taxa de reação instantânea
r = k \,a(t)\,C_A
  1. deativação do catalisador
\frac{da}{dt} = -k_d\,a(t)\,C_A
onde k é a constante cinética da reação, k_d a constante de desativação, C_A a concentração de A no reator e a(t) a fração de sítios ativos no instante t.

Passo 3

No CSTR em regime pseudo‐estacionário de concentração a cada instante, vale o balanço
0 = \frac{C_{A0}-C_A}{\tau} - r \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{C_{A0}-C_A}{\tau}
Substituindo r = k\,a\,C_A resulta
k\,a(t)\,C_A = \frac{C_{A0}-C_A}{\tau} \quad\Longrightarrow\quad C_A = \frac{C_{A0}}{1 + k\,a(t)\,\tau}.
A conversão X vem de X = 1 - C_A/C_{A0}, logo
X(t) = \frac{k\,a(t)\,\tau}{1 + k\,a(t)\,\tau}.

Passo 4

Para saber a(t), usamos
\frac{da}{dt} = -k_d\,a(t)\,C_A = -k_d\,a(t)\,\frac{C_{A0}}{1 + k\,a(t)\,\tau}.
Esse é um ODE separável em a, cujo comportamento qualitativo é:
  • em t=0, a(0)=1 (catalisador novo) ⇒ conversão inicial
    \displaystyle X(0)=\dfrac{k\,\tau}{1 + k\,\tau};
  • à medida que t aumenta, a(t) decai continuamente de 1 para 0;
  • como X é função monótona crescente de a, X(t) também decai de X(0) para 0.

Passo 5

Comportamento temporal de X(t):
  • início de operação: alta conversão igual à do CSTR com catalisador fresco;
  • com o tempo, o catalisador perde atividade e a conversão cai de forma contínua e monotônica;
  • em regime prolongado, a(t)\to0 e portanto X(t)\to0.

Passo 6

Esboço gráfico de X versus t:
[Gráfico esquemático]
  • eixo horizontal: tempo t.
  • eixo vertical: conversão X.
  • em t=0, X parte de X(0)=\frac{k\tau}{1+k\tau}.
  • curva decrescente, com declividade maior no início e nivelando-se conforme X\to0.
X
│\
│ \
│ \
│ \
│ \
│ \
└──────────→ t

Resposta

O gráfico de conversão X versus tempo t em um CSTR com desativação de primeira ordem em relação à atividade e à concentração mostra uma queda contínua e monótona de
X(0)=\frac{k\tau}{1+k\tau}
até zero, conforme o catalisador perde atividade ao longo do tempo.