Um comerciante de café vende três misturas de grãos. Um pacote com a mistura da casa contém 300 gramas de café colombiano e 200 gramas de café tostado tipo francês. Um pacote com a mistura especial contém 200 grams de café colombiano, 200 gramas de café queniano e 100 grams de café tostado tipo francês. Um pacote com mistura gourmet contém 100 gramas de café colombiano, 200 gramas de café queniano e 200 gramas de café tostado tipo francês. O comerciante tem 30 quilos de café colombiano, 15 de café queniano e 25 de café tostado tipo francês. Se ele deseja usar todos os grãos de café, quantos pacotes de cada mistura deve preparar?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse probleminha de mistura de cafés! A gente tem três tipos de pacotes de café que o comerciante vende: Casa, Especial e Gourmet. Cada um desses pacotes usa diferentes quantidades de café colombiano, queniano e tostado tipo francês. O objetivo é descobrir quantos pacotes de cada tipo ele precisa fazer para usar exatamente toda a quantidade de cada tipo de café que ele tem. Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra, especificamente um sistema de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis para facilitar:
- Seja 
o número de pacotes da mistura Casa.  - Seja 
o número de pacotes da mistura Especial.  - Seja 
o número de pacotes da mistura Gourmet.  
Passo 3
Agora, vamos analisar quanto de cada tipo de café é usado em cada pacote:
- 
Mistura Casa:
- 300 gramas de café colombiano
 - 200 gramas de café tostado tipo francês
 
 - 
Mistura Especial:
- 200 gramas de café colombiano
 - 200 gramas de café queniano
 - 100 gramas de café tostado tipo francês
 
 - 
Mistura Gourmet:
- 100 gramas de café colombiano
 - 200 gramas de café queniano
 - 200 gramas de café tostado tipo francês
 
 
Passo 4
Sabemos que o comerciante tem:
- 30 kg de café colombiano
 - 15 kg de café queniano
 - 25 kg de café tostado tipo francês
 
Vamos converter esses valores para gramas para facilitar:
- 30 kg = 30.000 gramas
 - 15 kg = 15.000 gramas
 - 25 kg = 25.000 gramas
 
Passo 5
Agora, vamos montar as equações baseadas no uso de cada tipo de café:
- 
Café Colombiano:
 - 
Café Queniano:
 - 
Café Tostado Tipo Francês:
 
Passo 6
Vamos simplificar a segunda equação dividindo todos os termos por 100:
Ou seja:
Isso nos dá uma relação entre 
  e 
 .
Passo 7
Agora, vamos resolver a equação 
  para uma das variáveis. Vamos isolar 
 :
Passo 8
Com o valor de 
  em termos de 
 , vamos substituir na primeira e terceira equações:
Primeira Equação:
Simplificando:
Terceira Equação:
Simplificando:
Passo 9
Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
Vamos somar as duas equações para eliminar 
 :
Passo 10
Agora que sabemos que 
 , vamos encontrar 
  usando a equação (1):
Passo 11
Com 
 , podemos encontrar 
  usando 
 :
Resposta
O comerciante deve preparar 65 pacotes da mistura Casa, 30 pacotes da mistura Especial e 45 pacotes da mistura Gourmet para usar exatamente todos os grãos de café disponíveis.