Um companhia produz lâmpadas entre as quais 2 \% são defeituosas.
Se o distribuidor recebe um lote de 1.000 lâmpadas, qual a média e a variância do número de lâmpadas defeituosas?

Passo 1

O enunciado diz que uma companhia produz lâmpadas e que 2\% delas são defeituosas. O distribuidor recebe um lote de 1.000 lâmpadas. As perguntas são: qual a média e qual a variância do número de lâmpadas defeituosas no lote? Informações dadas importantes:
  • Probabilidade de uma lâmpada ser defeituosa: p=0,02 (peguei do enunciado).
  • Tamanho do lote: n=1.000 (peguei do enunciado).
    A tarefa é calcular a média (valor esperado) e a variância do número total de lâmpadas defeituosas.

Passo 2

Modelagem e definições básicas (aula rápida e prática). Cada lâmpada pode ser vista como um experimento de Bernoulli: tem só dois resultados — defeituosa (sucesso, valor 1\)) com probabilidade \(p\), ou não defeituosa (fracasso, valor \(0\)) com probabilidade \(1-p\). Definimos para \(i=1,\dots,n\): \[X_i = \begin{cases} 1, & \text{se a lâmpada } i \text{ for defeituosa},\\[4pt] 0, & \text{se a lâmpada } i \text{ não for defeituosa}. \end{cases}
Então o número total de lâmpadas defeituosas no lote é a soma
X=\sum_{i=1}^{n} X_i.
Aqui cada X_i\] tem distribuição Bernoulli com parâmetro \(p. Assumimos que as lâmpadas são independentes (hipótese padrão neste tipo de problema), então X tem distribuição binomial com parâmetros n e p.]

Passo 3

Fórmula para a média (valor esperado). Para uma variável Bernoulli X_i com parâmetro p temos
\mathbb{E}(X_i)=p.
Como a esperança é linear, para a soma das n variáveis independentes temos
\mathbb{E}(X)=\mathbb{E}\!\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)=\sum_{i=1}^n \mathbb{E}(X_i)=n p.
Aqui n é o número de lâmpadas e p a probabilidade de defeito de cada uma. Isso significa que a média do número de defeituosos é simplesmente n vezes p.

Passo 4

Cálculo numérico da média. Usando n=1.000 e p=0,02:
\mathbb{E}(X)=n p = 1.000 \cdot 0,02.
Calcule passo a passo: 1.000\cdot 0,02 = 20. Então a média é 20 lâmpadas defeituosas (em média).

Passo 5

Fórmula para a variância. Para uma Bernoulli X_i temos
\operatorname{Var}(X_i)=p(1-p).
Se as X_i são independentes, a variância da soma é a soma das variâncias:
\operatorname{Var}(X)=\sum_{i=1}^n \operatorname{Var}(X_i)=n p (1-p).
Aqui n é o número de ensaios, p a probabilidade de sucesso (defeito) e 1-p a probabilidade de insucesso (não defeito).

Passo 6

Cálculo numérico da variância. Substituindo n=1.000 e p=0,02:
\operatorname{Var}(X)=1.000 \cdot 0,02 \cdot (1-0,02).
Calcule em passos: primeiro 1-0,02=0,98. Depois 1.000\cdot 0,02 = 20. Finalmente 20\cdot 0,98 = 19,6. Logo a variância é \,19,6.

Passo 7

Interpretação curta e dica para prova. A média 20 significa que, em média, espera-se encontrar 20 lâmpadas defeituosas no lote de 1.000. A variância 19,6 indica a dispersão ao redor dessa média; o desvio padrão seria \sqrt{19,6}\approx 4,43, que dá uma ideia do quanto o número real pode variar de uma amostra para outra. Método prático: sempre identifique n e p, use \mathbb{E}(X)=np e \operatorname{Var}(X)=np(1-p) para binomial — decore e aplique direto na prova.

Resposta

média = 20\nvariância = 19,6