Um companhia produz lâmpadas entre as quais
são defeituosas.
Se o distribuidor recebe um lote de 1.000 lâmpadas, qual a média e a variância do número de lâmpadas defeituosas?
Se o distribuidor recebe um lote de 1.000 lâmpadas, qual a média e a variância do número de lâmpadas defeituosas?
Passo 1
O enunciado diz que uma companhia produz lâmpadas e que
delas são defeituosas. O distribuidor recebe um lote de
lâmpadas. As perguntas são: qual a média e qual a variância do número de lâmpadas defeituosas no lote? Informações dadas importantes:
- Probabilidade de uma lâmpada ser defeituosa:
(peguei do enunciado). - Tamanho do lote:
(peguei do enunciado).
A tarefa é calcular a média (valor esperado) e a variância do número total de lâmpadas defeituosas.
Passo 2
Modelagem e definições básicas (aula rápida e prática). Cada lâmpada pode ser vista como um experimento de Bernoulli: tem só dois resultados — defeituosa (sucesso, valor
Então o número total de lâmpadas defeituosas no lote é a soma
Aqui cada
. Assumimos que as lâmpadas são independentes (hipótese padrão neste tipo de problema), então
tem distribuição binomial com parâmetros
e
.]
Passo 3
Fórmula para a média (valor esperado). Para uma variável Bernoulli
com parâmetro
temos
Como a esperança é linear, para a soma das
variáveis independentes temos
Aqui
é o número de lâmpadas e
a probabilidade de defeito de cada uma. Isso significa que a média do número de defeituosos é simplesmente
vezes
.
Passo 4
Cálculo numérico da média. Usando
e
:
Calcule passo a passo:
. Então a média é
lâmpadas defeituosas (em média).
Passo 5
Fórmula para a variância. Para uma Bernoulli
temos
Se as
são independentes, a variância da soma é a soma das variâncias:
Aqui
é o número de ensaios,
a probabilidade de sucesso (defeito) e
a probabilidade de insucesso (não defeito).
Passo 6
Cálculo numérico da variância. Substituindo
e
:
Calcule em passos: primeiro
. Depois
. Finalmente
. Logo a variância é
.
Passo 7
Interpretação curta e dica para prova. A média
significa que, em média, espera-se encontrar
lâmpadas defeituosas no lote de
. A variância
indica a dispersão ao redor dessa média; o desvio padrão seria
, que dá uma ideia do quanto o número real pode variar de uma amostra para outra. Método prático: sempre identifique
e
, use
e
para binomial — decore e aplique direto na prova.
Resposta
média =
\nvariância =