Uma companhia de serviços de ônibus intermunicipais planejou uma nova rota para servir vários locais situados entre duas cidades importantes. Um estudo preliminar afirma que a duração das viagens pode ser considerada uma variável aleatória normal, com média igual a 300 minutos e desvio padrão 30 minutos. As dez primeiras viagens realizadas nessa nova rota apresentaram média igual a 314 minutos. O resultado comprova o tempo médio determinado nos estudos preliminares?
a) Estabeleça as hipóteses a serem testadas.
b) Realize o teste de hipótese, considerando .
c) Calcule o p-valor para confirmar a sua decisão.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa analisar se o tempo médio de viagem que a empresa de ônibus estimou nos estudos preliminares (300 minutos) está mesmo batendo com o que foi observado nas dez primeiras viagens (314 minutos). Para isso, vamos usar Teste de Hipótese na Estatística. Vamos precisar entender o que é a hipótese nula e a alternativa, calcular o teste estatístico e ver se rejeitamos ou não a hipótese inicial.
Passo 2
a) Estabeleça as hipóteses a serem testadas.
Primeiro, vamos definir as hipóteses que queremos testar.
Hipótese Nula (H₀): A média real do tempo de viagem é igual a 300 minutos.
Hipótese Alternativa (H₁): A média real do tempo de viagem é diferente de 300 minutos.
Aqui, estamos testando se o valor observado (314 minutos) é significativamente diferente do que foi planejado (300 minutos).
Passo 3
b) Realize o teste de hipótese, considerando .
Vamos realizar um Teste Z porque sabemos o desvio padrão da população.
Primeiro, identificamos os dados:
Média populacional () = 300 minutos
Desvio padrão () = 30 minutos
Tamanho da amostra () = 10
Média da amostra () = 314 minutos
Nível de significância (alpha) = 5% ou 0,05
A fórmula do Teste Z é:
Z = x - musigmaraizn
Calculando:
Z = 314 - 30030raiz10 = 149.4868 approx 1.476
Agora, comparamos o valor de Z calculado com o valor crítico do Z para um teste bilateral com alpha=0,05. Os valores críticos são aproximadamente -1,96 e +1,96.
Como 1.476 < 1.96, não rejeitamos a hipótese nula.
Passo 4
c) Calcule o p-valor para confirmar a sua decisão.
O p-valor nos indica a probabilidade de observarmos um valor tão extremo quanto o nosso teste estatístico, assumindo que a hipótese nula é verdadeira.
Usando uma tabela Z ou uma calculadora, encontramos o p-valor para Z = 1.476.
Para um teste bilateral:
p-valor = 2 times P(Z > 1.476)
Consultando a tabela Z:
P(Z > 1.476) approx 0.0706
Então,
p-valor = 2 times 0.0706 = 0.1412 ou 14,12%
Como o p-valor (14,12%) é maior que alpha=5%, não rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
a) As hipóteses são:
H₀: mu = 300 (a média é 300 minutos) ₀éé
H₁: mu neq 300 (a média é diferente de 300 minutos) ₁éé
b) O teste de hipótese resultou em Z approx 1.476, que não está além dos valores críticos de pm1.96. Portanto, não rejeitamos a hipótese nula.
c) O p-valor calculado foi de aproximadamente 14,12%, que é maior que 5%. Assim, confirmamos que não há evidências suficientes para rejeitar a hipótese de que o tempo médio é 300 minutos.