Como se compara o rendimento de um retificador de onda completa em relação ao rendimento de um retificador de meia onda?

Passo 1

O que o enunciado pede: comparar o rendimento (eficiência) de um retificador de meia onda com o rendimento de um retificador de onda completa.
Informações e hipóteses que vamos usar (assunções padrão para esse tipo de comparação): o sinal de entrada é uma tensão senoidal ideal v_s(t)=V_m\sin(\omega t); os diodos são ideais (queda de tensão zero quando conduzem); a carga é puramente resistiva com resistência R; não há circuito de filtro (capacitor) — isto é, estamos comparando os retificadores no regime de saída retificada sem filtragem. Vamos calcular a eficiência como a razão entre a potência contínua entregue à carga e a potência média fornecida pela fonte:
\eta = \frac{P_{\text{DC}}}{P_{\text{AC}}}.

Passo 2

Definições e fórmulas úteis (explicando cada símbolo):
  • V_m é a amplitude máxima (valor de pico) da tensão senoidal de entrada.
  • R é a resistência da carga.
  • T é o período da senóide e usamos a variável angular \theta=\omega t para integrar no ciclo.
  • A média (valor médio) de uma função f(\theta) num ciclo 0 a 2\pi é \dfrac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} f(\theta)\,d\theta.
  • A potência DC entregue à carga quando a tensão média na carga é V_{\text{DC}} é
P_{\text{DC}}=\frac{V_{\text{DC}}^{2}}{R}.
  • A potência média fornecida pela fonte (ou potência média dissipada na carga, já que não há perdas) é
P_{\text{AC}}=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{v_o^{2}(\theta)}{R}\,d\theta,
onde v_o(\theta) é a tensão de saída sobre a carga ao longo do ciclo. Vou aplicar essas fórmulas primeiro ao retificador de meia onda e depois ao de onda completa.

Passo 3

Retificador de meia onda — forma de v_o(\theta)\) e cálculo do valor médio \(V_{\text{DC}}\): No retificador de meia onda ideal, a saída é a senóide positiva durante \(0<\theta<\pi\) e zero durante \(\pi<\theta<2\pi\). Logo \[v_o(\theta)=\begin{cases} V_m\sin\theta, & 0<\theta<\pi,\\[4pt] 0, & \pi<\theta<2\pi. \end{cases}
O valor médio (tensão DC) é
V_{\text{DC}}=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} v_o(\theta)\,d\theta =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi} V_m\sin\theta\,d\theta.
Calcule a integral: (\int_{0}^{\pi}\sin\theta,d\theta = 2]. Portanto
V_{\text{DC}}=\frac{1}{2\pi}\cdot V_m\cdot 2=\frac{V_m}{\pi}.
Explicação: isso é o valor médio da meia senóide — menos da metade do pico porque metade do tempo é zero.]

Passo 4

Retificador de meia onda — potência DC, potência média e eficiência:
Potência DC entregue:
P_{\text{DC}}=\frac{V_{\text{DC}}^{2}}{R}=\frac{1}{R}\left(\frac{V_m}{\pi}\right)^{2}=\frac{V_m^{2}}{\pi^{2}R}.
Potência média (média de v_o^2/R):
P_{\text{AC}}=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{v_o^{2}(\theta)}{R}\,d\theta =\frac{1}{2\pi R}\int_{0}^{\pi}V_m^{2}\sin^{2}\theta\,d\theta.
Calcule a integral: \int_{0}^{\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta=\dfrac{\pi}{2}. Então
P_{\text{AC}}=\frac{1}{2\pi R}\cdot V_m^{2}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{V_m^{2}}{4R}.
Agora a eficiência:
\eta_{\text{meia}}=\frac{P_{\text{DC}}}{P_{\text{AC}}} =\frac{\dfrac{V_m^{2}}{\pi^{2}R}}{\dfrac{V_m^{2}}{4R}} =\frac{4}{\pi^{2}}.
Valor numérico: \dfrac{4}{\pi^{2}}\approx 0{,}4053, ou seja aproximadamente 40{,}53\%.

Passo 5

Retificador de onda completa — forma de v_o(\theta) e cálculo do valor médio V_{\text{DC}}:
No retificador de onda completa ideal (ponte ou centro-tap ideal visto ao nível de forma de onda), a saída é o valor absoluto da senóide:
v_o(\theta)=|V_m\sin\theta|.
O valor médio é
V_{\text{DC}}=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} |V_m\sin\theta|\,d\theta =\frac{V_m}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}|\sin\theta|\,d\theta.
Sabemos que \int_{0}^{2\pi}|\sin\theta|\,d\theta=4. Assim
V_{\text{DC}}=\frac{V_m}{2\pi}\cdot 4=\frac{2V_m}{\pi}.
Interpretação: média da onda full-wave é o dobro da média da meia onda, porque ambas as meias-senóides (positivas) são aproveitadas.

Passo 6

Retificador de onda completa — potência DC, potência média e eficiência:
Potência DC:
P_{\text{DC}}=\frac{V_{\text{DC}}^{2}}{R}=\frac{1}{R}\left(\frac{2V_m}{\pi}\right)^{2}=\frac{4V_m^{2}}{\pi^{2}R}.
Potência média:
P_{\text{AC}}=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{v_o^{2}(\theta)}{R}\,d\theta =\frac{1}{2\pi R}\int_{0}^{2\pi}V_m^{2}\sin^{2}\theta\,d\theta.
Agora \int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta=\pi. Então
P_{\text{AC}}=\frac{1}{2\pi R}\cdot V_m^{2}\cdot\pi=\frac{V_m^{2}}{2R}.
Eficiência:
\eta_{\text{completa}}=\frac{P_{\text{DC}}}{P_{\text{AC}}} =\frac{\dfrac{4V_m^{2}}{\pi^{2}R}}{\dfrac{V_m^{2}}{2R}} =\frac{8}{\pi^{2}}.
Valor numérico: \dfrac{8}{\pi^{2}}\approx 0{,}8106, ou seja aproximadamente 81{,}06\%.

Passo 7

Comparação, interpretação física e observações práticas:
  • Relação direta: \eta_{\text{completa}} = 2\eta_{\text{meia}} porque \dfrac{8}{\pi^{2}} = 2\cdot\dfrac{4}{\pi^{2}}. Em palavras: o retificador de onda completa, idealmente, tem o dobro do rendimento do retificador de meia onda.
  • Intuição: o full-wave utiliza as duas metades do ciclo senoidal para produzir corrente DC, portanto entrega mais potência DC à carga para a mesma amplitude de entrada, enquanto a potência média (associada à energia fornecida pela fonte) aumenta menos proporcionalmente, resultando em maior eficiência.
  • Observação prática: essas eficiências são valores ideais. Em circuitos reais as quedas dos diodos, transformadores (no caso de center-tap) e filtros (capacitores) alteram os números — por exemplo, quedas de diodo reduzem a tensão útil e portanto a eficiência real fica menor. Ainda assim, qualitativamente, o retificador de onda completa continua sendo muito mais eficiente que o de meia onda.

Resposta

\eta_{\text{meia}}=\dfrac{4}{\pi^{2}}\approx 0{,}4053 ( 40{,}53\%)
\eta_{\text{completa}}=\dfrac{8}{\pi^{2}}\approx 0{,}8106 ( 81{,}06\%)
O retificador de onda completa tem o dobro do rendimento do retificador de meia onda (na hipótese de diodos ideais e carga resistiva).

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