Quais os valores da tensão média e da tensão efetiva medidas na carga de um retificador de onda completa de derivação central submetido a uma entrada senoidal de 12 V? Admita que os diodos sejam de silício.

Passo 1

O enunciado pede as tensões média e efetiva (RMS) medidas na carga de um retificador de onda completa com derivação central, submetido a uma entrada senoidal de 12\\ \text{V}. Informações dadas e hipóteses que adotarei (sem pedir nada a você):
  • A entrada senoidal indicada como 12\\ \text{V} será tomada como tensão eficaz (RMS) entre as extremidades da secundária (isto é, V_{\text{rms,\,total}}=12\\ \text{V}).
  • A derivação central divide a secundária em duas metades iguais, logo cada meia-secidária tem V_{\text{rms,\,meia}}=6\\ \text{V}.
  • Os diodos são de silício com queda aproximada constante V_D=0,7\\ \text{V} (cada meio-ciclo conduzirá por um único diodo).
  • Não há filtro (capacitor) na saída: a carga vê uma tensão retificada (valor absoluto da senóide da meia-secidária, menos a queda do diodo, e truncada a zero quando a senóide é menor que V_D).
    O que se pede:
  • Calcular a tensão média (valor médio DC) sobre a carga: \overline{V}.
  • Calcular a tensão eficaz (RMS) sobre a carga: V_{\text{ef}}.

Passo 2

Vamos escrever a forma matemática da tensão sobre a carga para análise. Use \theta=\omega t\). A amplitude de pico da meia-secidária é \[V_{p,h} = V_{\text{rms,\,meia}}\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\\ \text{V}.
A tensão instantânea da meia-secidária (quando positiva) é \;V_{p,h}\sin\theta\; para \theta\in[0,\pi]. Considerando a queda do diodo, a tensão na carga é
v(\theta)=\begin{cases} V_{p,h}\sin\theta - V_D, & \text{se }V_{p,h}\sin\theta > V_D,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
Definimos o ângulo onde a senóide iguala a queda do diodo:
\theta_0 = \arcsin\!\bigg(\frac{V_D}{V_{p,h}}\bigg).
Assim, para cada período \theta\in[0,\pi]\] (período da forma retificada) a condução ocorre somente em \(\theta\in[\theta_0,\pi-\theta_0]. As fórmulas de média e RMS ficam (no domínio [0,\pi] em \theta):
\overline{V}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} v(\theta)\,d\theta \qquad\text{e}\qquad V_{\text{ef}}=\sqrt{\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} v^2(\theta)\,d\theta }.]

Passo 3

Agora vamos calcular a tensão média \overline{V}. Como v(\theta)=0 fora do intervalo de condução, podemos integrar apenas onde há condução. Usando a simetria (metade do intervalo) obtemos:
\overline{V}=\frac{2}{\pi}\int_{\theta_0}^{\pi/2}\bigl(V_{p,h}\sin\theta - V_D\bigr)\,d\theta.
Calcule as integrais separadamente. Para a parte com \sin\theta:
\int_{\theta_0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta = \bigl[-\cos\theta\bigr]_{\theta_0}^{\pi/2} = \cos\theta_0.
Para a parte constante:
\int_{\theta_0}^{\pi/2} d\theta = \frac{\pi}{2}-\theta_0.
Portanto
\overline{V} = \frac{2}{\pi}\Bigl( V_{p,h}\cos\theta_0 - V_D\bigl(\tfrac{\pi}{2}-\theta_0\bigr)\Bigr).
Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro obtenha constantes em forma exata/numérica:
V_{p,h}=6\sqrt{2}\\ \text{V}\quad\Rightarrow\quad V_{p,h}^2=72\\ \text{V}^2.
\alpha\equiv\frac{V_D}{V_{p,h}}=\frac{0,7}{6\sqrt{2}}\approx 0,08247, \qquad \theta_0=\arcsin(\alpha)\approx 0,08256\\ \text{rad}.
\cos\theta_0=\sqrt{1-\alpha^2}\approx 0,99659.
Agora calcule a média:
\overline{V}=\frac{2}{\pi}\Bigl(6\sqrt{2}\cdot 0,99659 - 0,7\cdot( \tfrac{\pi}{2}-0,08256)\Bigr).
Faça as contas (mostrando os passos):
6\sqrt{2}\cdot 0,99659 \approx 8,456\\ \text{V},
0,7\cdot\bigl(\tfrac{\pi}{2}-0,08256\bigr)\approx 1,0417\\ \text{V},
\text{colchete}=8,456-1,0417=7,4143\\ \text{V},
\overline{V}=\frac{2}{\pi}\cdot 7,4143 \approx 0,63662\cdot 7,4143 \approx 4,722\\ \text{V}.

Passo 4

Agora vamos calcular a tensão eficaz V_{\text{ef}}. Usamos a definição
V_{\text{ef}}=\sqrt{\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} v^2(\theta)\,d\theta} = \sqrt{\frac{2}{\pi}\int_{\theta_0}^{\pi/2} \bigl(V_{p,h}\sin\theta - V_D\bigr)^2 d\theta }.
Expandindo o quadrado dentro da integral obtemos três termos:
\int_{\theta_0}^{\pi/2}\bigl(V_{p,h}^2\sin^2\theta -2V_{p,h}V_D\sin\theta + V_D^2\bigr)d\theta.
Calcule cada integral separadamente:
  1. Para \sin^2\theta usamos a identidade \sin^2\theta=\tfrac{1}{2}(1-\cos2\theta):
\int_{\theta_0}^{\pi/2}\sin^2\theta\,d\theta = \biggl[\theta - \tfrac{1}{2}\sin2\theta\biggr]_{\theta_0}^{\pi/2} = \tfrac{\pi}{2}-\theta_0 + \tfrac{1}{2}\sin2\theta_0.
Multiplicando por V_{p,h}^2 (lembre V_{p,h}^2=72) dá o termo
A=\frac{72}{1}\cdot\frac{1}{2}\bigl(\tfrac{\pi}{2}-\theta_0 + \tfrac{1}{2}\sin2\theta_0\bigr) =36\bigl(\tfrac{\pi}{2}-\theta_0 + \tfrac{1}{2}\sin2\theta_0\bigr).
  1. Para \sin\theta:
\int_{\theta_0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta = \cos\theta_0,
multiplicado por -2V_{p,h}V_D
B = -2V_{p,h}V_D\cos\theta_0.
  1. Para a constante V_D^2:
C= V_D^2\bigl(\tfrac{\pi}{2}-\theta_0\bigr).
Somando J=A+B+C, o termo sob a raiz é \dfrac{2}{\pi}J. Calculando numericamente (já tínhamos \theta_0 e \cos\theta_0):
  • Calcule \sin2\theta_0 = 2\sin\theta_0\cos\theta_0 = 2\alpha\cos\theta_0 \approx 0,16437.
  • Então
A = 36\bigl(1,488236 + 0,082185\bigr) \approx 36\cdot 1,570421 \approx 56,534.
B = -2\cdot 8,485281\cdot 0,7\cdot 0,99659 \approx -11,8394.
C = 0,49\cdot 1,488236 \approx 0,7292.
J=A+B+C\approx 56,534 -11,8394 +0,7292 \approx 45,4238.
O valor médio do quadrado é \dfrac{2}{\pi}J\approx \dfrac{90,8476}{\pi}\approx 28,9236. Portanto
V_{\text{ef}}=\sqrt{28,9236}\approx 5,379\\ \text{V}.

Passo 5

Resumo dos resultados e interpretação rápida (pra te dar confiança):
  • Sem queda do diodo, para essa meia-secidária a média ideal seria \dfrac{2V_{p,h}}{\pi}\approx 5,401\\ \text{V} e o RMS ideal seria V_{p,h}/\sqrt{2}=6\\ \text{V}.
  • Com as quedas V_D=0,7\\ \text{V} dos diodos, os valores caem para os números que calculamos: \overline{V}\approx 4,722\\ \text{V} e V_{\text{ef}}\approx 5,379\\ \text{V}.
    Você pode usar esse procedimento em qualquer exercício parecido: traduzir a forma de onda, achar o ângulo de condução pela condição \sin\theta=V_D/V_p, integrar para média e para média do quadrado e finalmente extrair RMS. Dá trabalho, mas é direitinho e repetível — você vai mandar bem na prova!

Resposta

\overline{V}\approx 4,722\\ \text{V}
V_{\text{ef}}\approx 5,379\\ \text{V}

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