Compare discuta os resultados dos valores obtidos de \ln (2) dos seguintes modos:
a) Calcule \ln (2) usando diretamente uma calculadora científica, celular, computador,…
b) Calcule o valor de \ln (2) obtido pela expansão da função
f(x)=\ln (1+x)
em série de Taylor em torno de x_{0}=0 (isto é, série de Maclaurin), usando a fórmula geral:
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^{n}
Avalie em x=1 para obter uma aproximação de \ln (2), truncando a série após a nona parcela.
b_{1} ) Admitindo que o valor encontrado no item a) é exato, calcule o erro absoluto e o erro relativo (inclusive em %) entre o valor encontrado por esta aproximação obtida no item b).
c) Calcule o valor de \ln (2) obtido pela expansão da função
g(x)=\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)
em uma série Maclaurin.
Avalie a série em x=\frac{1}{3} para obter uma aproximação de \ln (2), truncando a série até a nona parcela. compare com o valor real.
Sugestão: Poderia desenvolver a função \ln (1+x) e \ln (1-x) em torno de x_{0}=0 e depois subtraí-las,
c_{1} ) Admitindo que o valor encontrado no item a) é exato, calcule o erro absoluto e o erro relativo (inclusive em %) entre o valor encontrado por esta aproximação obtida no item c).

Passo 1

O enunciado pede que se compare e discuta aproximações de \ln(2) obtidas por três maneiras:
  • (a) obter o valor de \ln(2) diretamente por calculadora (valor de referência);
  • (b) obter \ln(2) pela série de Maclaurin de f(x)=\ln(1+x), avaliando em x=1 e truncando após a nona parcela (ou seja, somando os primeiros 9 termos da série em x=1); depois calcular o erro absoluto e o erro relativo (em %) tomando o valor da calculadora como “exato”;
  • (c) obter \ln(2) pela série de Maclaurin de g(x)=\ln\!\bigl(\tfrac{1+x}{1-x}\bigr), avaliando em x=\tfrac{1}{3} e truncando até a nona parcela (ou seja, somando 9 termos da série em x=\tfrac{1}{3}); depois calcular erro absoluto e relativo (em %) tomando o valor da calculadora como “exato”.
Informações relevantes dadas ou usadas:
  • A fórmula geral de séries de Taylor/Maclaurin: f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}.
  • Para (b) a avaliação é em x=1 (limite do intervalo de convergência condicional para \ln(1+x)).
  • Para (c) a sugestão é desenvolver \ln(1+x) e \ln(1-x) e subtrair; a avaliação final em x=\tfrac{1}{3} deve dar \ln(2).

Passo 2

Item (a): valor de referência por calculadora.
Vou tomar como valor de referência (obtido em calculadora científica ou computador) o valor padrão de \ln(2):
\ln(2)=0,6931471805599453.
Esse será o valor considerado “exato” para calcular os erros nos itens (b) e (c).

Passo 3

Item (b) — obter a série de Maclaurin de f(x)=\ln(1+x).
Primeiro derivadas e coeficientes: f(x)=\ln(1+x),\qquad f'(x)=\frac{1}{1+x}=(1+x)^{-1},
e por recorrência (pode-se provar por indução):
f^{(n)}(x)=(-1)^{\,n-1}(n-1)!\,(1+x)^{-n}\quad\text{para }n\ge1.
Logo em x=0 temos f^{(n)}(0)=(-1)^{\,n-1}(n-1)!. Aplicando a fórmula de Maclaurin obtemos, para n\ge1,
\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}=\frac{(-1)^{\,n-1}}{n}x^{n}.
Portanto a série é (série conhecida):
\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{\,n-1}}{n}x^{n}=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\cdots,
válida para |x|<1 e que converge condicionalmente em x=1 (pela série alternada).
Explicação didática curta: os coeficientes vêm dos derivados em zero; para \ln(1+x) os derivados têm fatorial (n-1)! que cancela com n! deixando 1/n e o sinal alterna.

Passo 4

Item (b) — avaliar em x=1 e truncar após a nona parcela (somar 9 termos).
Substituindo x=1 temos a série alternada que converge para \ln(2):
\ln(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{\,n-1}}{n}=1-\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{4}+\cdots.
Truncando após a nona parcela significa somar os termos n=1 até n=9. Vou listar cada parcela (fração) e o valor acumulado:
\begin{aligned} T_{1}&=1 &=&\\\ 1,0000000000000000\\\ T_{2}&=-\tfrac{1}{2} &=&\\\ -0,5000000000000000\quad\Rightarrow\\ S_{2}=0,5000000000000000\\\ T_{3}&=+\tfrac{1}{3} &=&\\\ +0,3333333333333333\quad\Rightarrow\\ S_{3}=0,8333333333333333\\\ T_{4}&=-\tfrac{1}{4} &=&\\\ -0,2500000000000000\quad\Rightarrow\\ S_{4}=0,5833333333333333\\\ T_{5}&=+\tfrac{1}{5} &=&\\\ +0,2000000000000000\quad\Rightarrow\\ S_{5}=0,7833333333333333\\\ T_{6}&=-\tfrac{1}{6} &=&\\\ -0,1666666666666667\quad\Rightarrow\\ S_{6}=0,6166666666666666\\\ T_{7}&=+\tfrac{1}{7} &=&\\\ +0,1428571428571429\quad\Rightarrow\\ S_{7}=0,7595238095238095\\\ T_{8}&=-\tfrac{1}{8} &=&\\\ -0,1250000000000000\quad\Rightarrow\\ S_{8}=0,6345238095238095\\\ T_{9}&=+\tfrac{1}{9} &=&\\\ +0,1111111111111111\quad\Rightarrow\\ S_{9}=0,7456349206349206 \end{aligned}
Portanto a aproximação truncada (9 termos) é
\text{Aproximação}_{(b)}=S_{9}=0,7456349206349206.çã

Passo 5

Item (b1) — calcular erro absoluto e erro relativo (tomando (a) como exato).
Erro absoluto:
\text{erro}_{\text{abs}}=\bigl|S_{9}-\ln(2)\bigr| = \bigl|0,7456349206349206-0,6931471805599453\bigr| =0,0524877400749753.
Erro relativo:
\text{erro}_{\text{rel}}=\frac{\text{erro}_{\text{abs}}}{\bigl|\ln(2)\bigr|} =\frac{0,0524877400749753}{0,6931471805599453} \approx0,075714\ldots
Em percentagem:
\text{erro}_{\text{rel}}\times100\%\approx7{,}5714\%.
Comentário didático: a série de \ln(1+x) em x=1 converge muito lentamente porque os termos são da ordem 1/n (decrescimento lento). A estimativa de resto pela desigualdade da série alternada diz que o erro ao truncar após n termos tem módulo menor que o módulo da primeira parcela omitida; aqui a primeira omitida é n=10 cujo termo tem magnitude 1/10=0,1, então o erro está garantidamente abaixo de 0,1 — o que é um limite grosseiro. Na prática aqui obteve-se erro \approx0,0525.

Passo 6

Item (c) — obter a série de Maclaurin de g(x)=\ln\!\bigl(\tfrac{1+x}{1-x}\bigr).
Usando a sugestão: escrevendo g(x)=\ln(1+x)-\ln(1-x) e usando as séries (para |x|<1):
\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{\,n-1}}{n}x^{n},\qquad \ln(1-x)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}.
Subtraindo:
g(x)=\ln(1+x)-\ln(1-x)=\sum_{n=1}^{\infty}\left[(-1)^{\,n-1}+1\right]\frac{x^{n}}{n}.
Observe que (-1)^{\,n-1}+1 é zero para n par e é 2 para n ímpar. Assim somente os termos ímpares permanecem, dando a série em potências ímpares:
g(x)=2\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{2k+1}=2\Bigl(x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\cdots\Bigr),
válida para |x|<1.
Nota: essa é a série da função arco-hiperbólica (ou relacionada à série da função arco-tangente), mas aqui a forma útil é a série de potências ímpares com fator 2.

Passo 7

Item (c) — avaliar em x=\tfrac{1}{3} e truncar até a nona parcela.
Primeiro observe que para x=\tfrac{1}{3} temos:
g\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=\ln\!\left(\frac{1+\tfrac{1}{3}}{1-\tfrac{1}{3}}\right) =\ln\!\left(\frac{4/3}{2/3}\right)=\ln(2).
Portanto a série avaliada em x=\tfrac{1}{3} converge para \ln(2). Truncar até a nona parcela significa somar os termos correspondentes a k=0,1,\dots,8 da soma
\ln(2)=2\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(1/3)^{2k+1}}{2k+1}.
Vou listar os 9 termos t_{k}=2\,(1/3)^{2k+1}/(2k+1) e a soma acumulada:
\begin{aligned} t_{0}&=\dfrac{2}{3}=0,6666666666666667\quad\Rightarrow\\ S_{0}=0,6666666666666667\\[4pt] t_{1}&=\dfrac{2}{81}=0,024691358024691358\quad\Rightarrow\\ S_{1}=0,6913580246913580\\[4pt] t_{2}&=\dfrac{2}{1215}=0,0016460905349794239\quad\Rightarrow\\ S_{2}=0,6930041152263374\\[4pt] t_{3}&=\dfrac{2}{15309}=0,00013064210595074766\quad\Rightarrow\\ S_{3}=0,6931347573322882\\[4pt] t_{4}&=\dfrac{2}{177147}\approx0,000011288870229145\quad\Rightarrow\\ S_{4}\approx0,6931460462025174\\[4pt] t_{5}&=\dfrac{2}{1\,948\,617}\approx0,000001026487096889\quad\Rightarrow\\ S_{5}\approx0,6931470726896143\\[4pt] t_{6}&=\dfrac{2}{20\,726\,199}\approx0,000000096477606302\quad\Rightarrow\\ S_{6}\approx0,6931471691672206\\[4pt] t_{7}&=\dfrac{2}{215\,233\,605}\approx0,000000009291179107\quad\Rightarrow\\ S_{7}\approx0,6931471784583997\\[4pt] t_{8}&=\dfrac{2}{2\,195\,382\,771}\approx0,000000000911545261\quad\Rightarrow\\ S_{8}\approx0,6931471793699450 \end{aligned}
(Aqui os valores decimais estão arredondados para caber; as frações exatas dos termos foram indicadas.)
Assim a aproximação truncada em 9 termos é aproximadamente
\text{Aproximação}_{\text{(c)}}=S_{8}\approx0,6931471793699450.çã]

Passo 8

Item (c1) — erro absoluto e erro relativo tomando (a) como exato.
Erro absoluto:
\text{erro}_{\text{abs}}=\bigl|S_{8}-\ln(2)\bigr| \approx\bigl|0,6931471793699450-0,6931471805599453\bigr| \approx1{,}1900003\times10^{-9}.
(Usando os valores apresentados, o erro absoluto é da ordem de 1{,}2\times10^{-9}.)
Erro relativo:
\text{erro}_{\text{rel}}=\frac{\text{erro}_{\text{abs}}}{\bigl|\ln(2)\bigr|} \approx\frac{1{,}19\times10^{-9}}{0,6931471805599453} \approx1{,}72\times10^{-9}.
Em percentagem:
\text{erro}_{\text{rel}}\times100\%\approx1{,}72\times10^{-7}\%.
Comentário didático: a convergência aqui é muito rápida porque os termos caem geometricamente com razão aproximada 1/9 (cada potência aumenta o expoente de 1/3 em dois), então com apenas 9 termos o erro fica na ordem de 10^{-9}. Em contraste com (b), onde os termos decrescem apenas como 1/n, aqui o decrescimento é exponencial em k.

Passo 9

Discussão comparativa e interpretação (curta e prática para prova):
  • Método (b) (série de \ln(1+x) em x=1) converge, mas converge muito lentamente: truncar em 9 termos dá erro de cerca de 5{,}25\times10^{-2} (ou \sim7{,}57\%). Isso acontece porque os termos são da ordem 1/n (decrescimento lento); a série é alternada e só dá convergência condicional em x=1.
  • Método (c) (série de \ln\!\bigl(\tfrac{1+x}{1-x}\bigr) avaliada em x=\tfrac{1}{3}) converge muito mais rápido: truncando em 9 termos o erro já fica da ordem de 10^{-9} (erro relativo \sim1{,}7\times10^{-9}), pois os termos são da forma 2(1/3)^{2k+1}/(2k+1) — decaimento geométrico com razão \approx1/9.
  • Conclusão prática para prova: não é suficiente apenas saber a série; é importante analisar a velocidade de convergência. Se puder escolher o ponto de expansão, é bom escolher um x pequeno (aqui \tfrac{1}{3}) ou usar manipulações algébricas (como transformar \ln(2) em \ln\!\bigl(\tfrac{1+x}{1-x}\bigr) com x=\tfrac{1}{3}) para obter séries com convergência rápida.

Resposta

(a) \ln(2)=0,6931471805599453.
(b) Aproximação pela série de \ln(1+x) em x=1 truncada em 9 termos: 0,7456349206349206.
(b1) Erro absoluto \approx0,0524877400749753.
Erro relativo \approx0,075714 (ou \approx7,5714\%).
(c) Aproximação pela série de g(x)=\ln\!\bigl(\tfrac{1+x}{1-x}\bigr) em x=\tfrac{1}{3} truncada em 9 termos: \approx0,6931471793699450.
(c1) Erro absoluto \approx1{,}19\times10^{-9}.
Erro relativo \approx1{,}72\times10^{-9} (ou \approx1{,}72\times10^{-7}\%).