Compare discuta os resultados dos valores obtidos de \ln (2) dos seguintes modos:
a) Calcule \ln (2) usando diretamente uma calculadora científica, celular, computador,…
b) Calcule o valor de \ln (2) obtido pela expansão da função
f(x)=\ln (1+x)
em série de Taylor em torno de x_{0}=0 (isto é, série de Maclaurin), usando a fórmula geral:
Avalie em x=1 para obter uma aproximação de \ln (2), truncando a série após a nona parcela. b_{1} ) Admitindo que o valor encontrado no item a) é exato, calcule o erro absoluto e o erro relativo (inclusive em %) entre o valor encontrado por esta aproximação obtida no item b).
c) Calcule o valor de \ln (2) obtido pela expansão da função
g(x)=\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)
em uma série Maclaurin.
Avalie a série em x=\frac{1}{3} para obter uma aproximação de \ln (2), truncando a série até a nona parcela. compare com o valor real.
Sugestão: Poderia desenvolver a função \ln (1+x) e \ln (1-x) em torno de x_{0}=0 e depois subtraí-las, c_{1} ) Admitindo que o valor encontrado no item a) é exato, calcule o erro absoluto e o erro relativo (inclusive em %) entre o valor encontrado por esta aproximação obtida no item c).
Passo 1
O enunciado pede que se compare e discuta aproximações de \ln(2) obtidas por três maneiras:
(a) obter o valor de \ln(2) diretamente por calculadora (valor de referência);
(b) obter \ln(2) pela série de Maclaurin de f(x)=\ln(1+x), avaliando em x=1 e truncando após a nona parcela (ou seja, somando os primeiros 9 termos da série em x=1); depois calcular o erro absoluto e o erro relativo (em %) tomando o valor da calculadora como “exato”;
(c) obter \ln(2) pela série de Maclaurin de g(x)=\ln\!\bigl(\tfrac{1+x}{1-x}\bigr), avaliando em x=\tfrac{1}{3} e truncando até a nona parcela (ou seja, somando 9 termos da série em x=\tfrac{1}{3}); depois calcular erro absoluto e relativo (em %) tomando o valor da calculadora como “exato”.
Informações relevantes dadas ou usadas:
A fórmula geral de séries de Taylor/Maclaurin: f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}.
Para (b) a avaliação é em x=1 (limite do intervalo de convergência condicional para \ln(1+x)).
Para (c) a sugestão é desenvolver \ln(1+x) e \ln(1-x) e subtrair; a avaliação final em x=\tfrac{1}{3} deve dar \ln(2).
Passo 2
Item (a): valor de referência por calculadora.
Vou tomar como valor de referência (obtido em calculadora científica ou computador) o valor padrão de \ln(2):
\ln(2)=0,6931471805599453.
Esse será o valor considerado “exato” para calcular os erros nos itens (b) e (c).
Passo 3
Item (b) — obter a série de Maclaurin de f(x)=\ln(1+x).
Primeiro derivadas e coeficientes: f(x)=\ln(1+x),\qquad f'(x)=\frac{1}{1+x}=(1+x)^{-1},
válida para |x|<1 e que converge condicionalmente em x=1 (pela série alternada).
Explicação didática curta: os coeficientes vêm dos derivados em zero; para \ln(1+x) os derivados têm fatorial (n-1)! que cancela com n! deixando 1/n e o sinal alterna.
Passo 4
Item (b) — avaliar em x=1 e truncar após a nona parcela (somar 9 termos).
Substituindo x=1 temos a série alternada que converge para \ln(2):
Comentário didático: a série de \ln(1+x) em x=1 converge muito lentamente porque os termos são da ordem 1/n (decrescimento lento). A estimativa de resto pela desigualdade da série alternada diz que o erro ao truncar após n termos tem módulo menor que o módulo da primeira parcela omitida; aqui a primeira omitida é n=10 cujo termo tem magnitude 1/10=0,1, então o erro está garantidamente abaixo de 0,1 — o que é um limite grosseiro. Na prática aqui obteve-se erro \approx0,0525.
Passo 6
Item (c) — obter a série de Maclaurin de g(x)=\ln\!\bigl(\tfrac{1+x}{1-x}\bigr).
Usando a sugestão: escrevendo g(x)=\ln(1+x)-\ln(1-x) e usando as séries (para |x|<1):
Nota: essa é a série da função arco-hiperbólica (ou relacionada à série da função arco-tangente), mas aqui a forma útil é a série de potências ímpares com fator 2.
Passo 7
Item (c) — avaliar em x=\tfrac{1}{3} e truncar até a nona parcela.
Portanto a série avaliada em x=\tfrac{1}{3} converge para \ln(2). Truncar até a nona parcela significa somar os termos correspondentes a k=0,1,\dots,8 da soma
Comentário didático: a convergência aqui é muito rápida porque os termos caem geometricamente com razão aproximada 1/9 (cada potência aumenta o expoente de 1/3 em dois), então com apenas 9 termos o erro fica na ordem de 10^{-9}. Em contraste com (b), onde os termos decrescem apenas como 1/n, aqui o decrescimento é exponencial em k.
Passo 9
Discussão comparativa e interpretação (curta e prática para prova):
Método (b) (série de \ln(1+x) em x=1) converge, mas converge muito lentamente: truncar em 9 termos dá erro de cerca de 5{,}25\times10^{-2} (ou \sim7{,}57\%). Isso acontece porque os termos são da ordem 1/n (decrescimento lento); a série é alternada e só dá convergência condicional em x=1.
Método (c) (série de \ln\!\bigl(\tfrac{1+x}{1-x}\bigr) avaliada em x=\tfrac{1}{3}) converge muito mais rápido: truncando em 9 termos o erro já fica da ordem de 10^{-9} (erro relativo \sim1{,}7\times10^{-9}), pois os termos são da forma 2(1/3)^{2k+1}/(2k+1) — decaimento geométrico com razão \approx1/9.
Conclusão prática para prova: não é suficiente apenas saber a série; é importante analisar a velocidade de convergência. Se puder escolher o ponto de expansão, é bom escolher um x pequeno (aqui \tfrac{1}{3}) ou usar manipulações algébricas (como transformar \ln(2) em \ln\!\bigl(\tfrac{1+x}{1-x}\bigr) com x=\tfrac{1}{3}) para obter séries com convergência rápida.
Resposta
(a) \ln(2)=0,6931471805599453.
(b) Aproximação pela série de \ln(1+x) em x=1 truncada em 9 termos: 0,7456349206349206.