Compare as expressões
\lim _{x \rightarrow a} f(x) \quad \text { e } \quad f(a)
Quando podemos garantir que são iguais? Qual condição garante essa igualdade?

Passo 1

O enunciado pede que comparemos duas coisas: \lim_{x\to a} f(x) e f(a). As perguntas são:
  • Quando podemos garantir que esses dois valores são iguais?
  • Qual condição sobre f em a garante essa igualdade?
Informações dadas (o que temos do enunciado):
  • Uma função f.
  • Um ponto a (o enunciado não diz explicitamente se a pertence ao domínio de f, nem se é ponto de acumulação do domínio).
Observação importante que vamos usar depois: para falar em \lim_{x\to a} f(x) de modo não-trivial, normalmente exige-se que a seja ponto de acumulação do domínio de f (ou, se a for isolado, algumas convenções levam a situações\—veremos isso adiante).

Passo 2

Definição precisa de limite (epsilon–delta). Isso é fundamental para entender quando a igualdade pode ocorrer.
Dizemos que \lim_{x\to a} f(x)=L se, e somente se,
\text{para todo }\varepsilon>0\\ \text{existe }\delta>0\\ \text{tal que, para todo }x,
se 0<|x-a|<\delta e x está no domínio de f, então |f(x)-L|<\varepsilon.
Interpretação intuitiva: podemos fazer os valores f(x) tão próximos de L quanto quisermos, desde que x esteja suficientemente perto de a (e diferente de a).

Passo 3

O que é f(a) e requisitos de domínio.
  • f(a) é o valor da função no ponto a. Para isso existir é preciso que a pertença ao domínio de f.
  • A igualdade entre \lim_{x\to a} f(x) e f(a) só faz sentido comparar quando tanto o limite existe (no sentido acima) quanto f(a) está definido.
Também uma observação sobre pontos isolados: se a é um ponto isolado do domínio (não há pontos do domínio arbitrariamente próximos a a diferentes de a), então a condição 0<|x-a|<\delta não é satisfeita por nenhum x para \delta pequeno, e a fórmula do limite fica vazia — por isso alguns autores dizem que qualquer L satisfaz a definição e o limite não é informativo; outros adotam a convenção de que a função é automaticamente contínua em pontos isolados. Na prática de prova, geralmente assumimos que a é ponto de acumulação do domínio quando tratamos de limites.

Passo 4

Definição de continuidade em a (a condição que garante a igualdade).
Dizemos que f é contínua em a se:
  1. f(a) está definido;
  2. \lim_{x\to a} f(x) existe;
  3. \lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Em linguagem epsilon–delta, a continuidade em a equivale a:
\text{para todo }\varepsilon>0\\ \text{existe }\delta>0\\ \text{tal que, para todo }x,
se |x-a|<\delta e x está no domínio de f, então |f(x)-f(a)|<\varepsilon.
Portanto: a condição que garante \lim_{x\to a} f(x)=f(a) é exatamente que f seja contínua em a.

Passo 5

Outro critério útil (sequencial) — jeito prático de testar continuidade em provas.
f é contínua em a se, e somente se, para toda sequência (x_n) com x_n\to a e x_n\neq a para todo n, vale f(x_n)\to f(a).
Esse critério é muito útil para construir contraexemplos: basta achar uma sequência x_n\to a tal que f(x_n)\not\to f(a) para concluir que não há continuidade em a.

Passo 6

Exemplos positivos (casos em que a igualdade vale facilmente).
  • Polinômios. Se f(x) é um polinômio então f é contínua em todo a. Logo \lim_{x\to a} f(x)=f(a) para todo a. Exemplo: f(x)=x^2. Calculando,
\lim_{x\to a} x^2 = a^2 = f(a).
Pode-se demonstrar por epsilon–delta: |x^2-a^2|=|x-a||x+a|. Tomando \delta\le 1 garante |x+a|\le 2|a|+1, daí escolher \delta=\min\{1,\varepsilon/(2|a|+1)\} funciona.
  • Funções elementares: somas, produtos e compostos de funções contínuas são contínuas. Portanto exponencial, sen, cos, polinômios, e racionais (onde denominador não zera) são contínuas em pontos adequados.
Na prova, uma estratégia prática: se souber que f pertence a uma família de funções contínuas em a, então a igualdade é garantida sem cálculo explícito.

Passo 7

Exemplo negativo 1 — descontinuidade removível.
Defina
f(x)=\begin{cases} \dfrac{x^2-1}{x-1}, & x\neq 1,\\[6pt] 3, & x=1. \end{cases}
Para x\neq 1 tem-se \dfrac{x^2-1}{x-1}=x+1, então
\lim_{x\to 1} f(x)=\lim_{x\to 1} (x+1)=2,
mas f(1)=3. Logo \lim_{x\to 1} f(x)\neq f(1): a função não é contínua em 1. Isso é uma descontinuidade removível — basta redefinir f(1):=2 para corrigir.]

Passo 8

Exemplo negativo 2 — limite não existe.
Considere a função piso \lfloor x\rfloor em a=0. Os limites laterais são diferentes:
\lim_{x\to 0^-} \lfloor x\rfloor = -1,\qquad \lim_{x\to 0^+} \lfloor x\rfloor = 0.
Portanto \lim_{x\to 0} \lfloor x\rfloor não existe, e não pode ser igual a \lfloor 0\rfloor=0. Aqui a falha vem do não-existir do limite.

Passo 9

Resumo prático para usar na prova (guia passo a passo curto):
  • Passo A: Verifique se a pertence ao domínio de f. Se não, f(a) não está definido e não há igualdade.
  • Passo B: Verifique se a é ponto de acumulação do domínio. Se for isolado, cuidado com convenções; em provas normais assume-se acumulação.
  • Passo C: Calcule \lim_{x\to a} f(x) (usando álgebra, regras de limites, teoremas de continuidade, substituição direta quando possível).
  • Passo D: Calcule f(a).
  • Passo E: Compare: se são iguais, então f é contínua em a; se não, f não é contínua em a (pode ser descontinuidade removível, salto, oscilatória, etc.).
Dica: muitas vezes é mais rápido decidir continuidade reconhecendo a função (polinômio, racional com denom não nulo, exponencial, trigonométrica, etc.) do que calcular limites do zero.

Passo 10

Resposta conceitual curta e a condição formal (epsilon–delta), para gravar e usar na prova.
A igualdade \lim_{x\to a} f(x)=f(a) ocorre exatamente quando f é contínua em a. Em forma epsilon–delta:
\text{\(f\) é contínua em \(a\)}\quad\Longleftrightarrow\quad \text{para todo }\varepsilon>0\ \text{existe }\delta>0\ \text{tal que, se }|x-a|<\delta, \text{ então }|f(x)-f(a)|<\varepsilon.éíã

Resposta

A igualdade ocorre exatamente quando f é contínua em a. Em termos formais: f é contínua em a se, e somente se, \lim_{x\to a} f(x)=f(a); em linguagem epsilon–delta:
\text{para todo }\varepsilon>0\\ \text{existe }\delta>0\\ \text{tal que, se }|x-a|<\delta, \text{ então }|f(x)-f(a)|<\varepsilon.ã