Uma competição esportiva envolveu 20 equipes com 10 atletas cada. Uma denúncia à organização dizia que um dos atletas havia utilizado substância proibida. Os organizadores, então, decidiram fazer um exame antidoping. Foram propostos três modos diferentes para escolher os atletas que irão realizá-lo:
Modo I: sortear três atletas dentre todos os participantes;
Modo II: sortear primeiro uma das equipes e, desta, sortear três atletas;
Modo III: sortear primeiro três equipes e, então, sortear um atleta de cada uma dessas três equipes. Considere que todos os atletas têm igual probabilidade de serem sorteados e que P(I), P(II) e P(III) sejam as probabilidades de o atleta que utilizou a substância proibida seja um dos escolhidos para o exame no caso do sorteio ser feito pelo modo I, II ou III. Comparando-se essas probabilidades, obtém-se P(I) < P(III) < P(II), P(II) < P(I) < P(III), P(I) < P(II) = P(III) ou P(I) = P(II) < P(III) ou P(I) = P(II) = P(III)?
Modo I: sortear três atletas dentre todos os participantes;
Modo II: sortear primeiro uma das equipes e, desta, sortear três atletas;
Modo III: sortear primeiro três equipes e, então, sortear um atleta de cada uma dessas três equipes. Considere que todos os atletas têm igual probabilidade de serem sorteados e que P(I), P(II) e P(III) sejam as probabilidades de o atleta que utilizou a substância proibida seja um dos escolhidos para o exame no caso do sorteio ser feito pelo modo I, II ou III. Comparando-se essas probabilidades, obtém-se P(I) < P(III) < P(II), P(II) < P(I) < P(III), P(I) < P(II) = P(III) ou P(I) = P(II) < P(III) ou P(I) = P(II) = P(III)?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma competição com 20 equipes, cada uma com 10 atletas, e os organizadores querem escolher atletas para fazer um exame antidoping. Temos três métodos diferentes de seleção e precisamos comparar as probabilidades de selecionar o atleta que usou a substância proibida em cada método. Vamos usar conceitos de probabilidade e combinação para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o total de atletas na competição. São 20 equipes com 10 atletas cada, então:
Passo 3
Agora, vamos analisar cada método de seleção e calcular a probabilidade de o atleta proibido ser escolhido.
Método I: sortear três atletas dentre todos os participantes.
Aqui, estamos escolhendo 3 atletas de um total de 200. A probabilidade de selecionar o atleta proibido é a razão entre o número de formas de selecionar um grupo que inclui esse atleta e o total de formas de selecionar qualquer grupo de 3 atletas.
Primeiro, o total de maneiras de escolher 3 atletas de 200:
Agora, as maneiras de escolher um grupo que inclui o atleta proibido: escolhemos o atleta proibido e mais 2 atletas dos 199 restantes.
Portanto, a probabilidade $ P(I) $ é:
Passo 4
Método II: sortear primeiro uma das equipes e, desta, sortear três atletas.
Primeiro, escolhemos uma equipe dentre as 20. A probabilidade de escolher a equipe que tem o atleta proibido é $ \frac{1}{20} $.
Dentro dessa equipe, temos 10 atletas, e queremos selecionar 3. A probabilidade de escolher o atleta proibido dentre esses 3 é:
Número de maneiras de escolher 3 atletas que incluem o atleta proibido:
Total de maneiras de escolher 3 atletas de 10:
Então, a probabilidade de selecionar o atleta proibido nessa equipe é:
Multiplicando pela probabilidade de ter escolhido a equipe certa:
Passo 5
Método III: sortear primeiro três equipes e, então, sortear um atleta de cada uma dessas três equipes.
Primeiro, escolhemos 3 equipes dentre as 20:
Agora, queremos que uma dessas equipes seja a que tem o atleta proibido. A maneira correta de pensar aqui é que, para o atleta proibido ser escolhido, sua equipe deve ser uma das três selecionadas.
A probabilidade de a equipe do atleta proibido estar entre as três escolhidas é:
Agora, se a equipe do atleta proibido está entre as três, a probabilidade de ele ser escolhido nessa equipe é $ \frac{1}{10} $.
Então, a probabilidade total $ P(III) $ é:
Resposta
Comparando as probabilidades:
Portanto: