Uma competição esportiva envolveu 20 equipes com 10 atletas cada. Uma denúncia à organização dizia que um dos atletas havia utilizado substância proibida. Os organizadores, então, decidiram fazer um exame antidoping. Foram propostos três modos diferentes para escolher os atletas que irão realizá-lo:
Modo I: sortear três atletas dentre todos os participantes;
Modo II: sortear primeiro uma das equipes e, desta, sortear três atletas;
Modo III: sortear primeiro três equipes e, então, sortear um atleta de cada uma dessas três equipes. Considere que todos os atletas têm igual probabilidade de serem sorteados e que P(I), P(II) e P(III) sejam as probabilidades de o atleta que utilizou a substância proibida seja um dos escolhidos para o exame no caso do sorteio ser feito pelo modo I, II ou III. Comparando-se essas probabilidades, obtém-se P(I) < P(III) < P(II), P(II) < P(I) < P(III), P(I) < P(II) = P(III) ou P(I) = P(II) < P(III) ou P(I) = P(II) = P(III)?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma competição com 20 equipes, cada uma com 10 atletas, e os organizadores querem escolher atletas para fazer um exame antidoping. Temos três métodos diferentes de seleção e precisamos comparar as probabilidades de selecionar o atleta que usou a substância proibida em cada método. Vamos usar conceitos de probabilidade e combinação para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o total de atletas na competição. São 20 equipes com 10 atletas cada, então:
Total de at<=tas = 20 times 10 = 200

Passo 3

Agora, vamos analisar cada método de seleção e calcular a probabilidade de o atleta proibido ser escolhido.
Método I: sortear três atletas dentre todos os participantes.
Aqui, estamos escolhendo 3 atletas de um total de 200. A probabilidade de selecionar o atleta proibido é a razão entre o número de formas de selecionar um grupo que inclui esse atleta e o total de formas de selecionar qualquer grupo de 3 atletas.
Primeiro, o total de maneiras de escolher 3 atletas de 200:
C(200, 3) = 200!3!(200-3)! = 200 times 199 times 1986
Agora, as maneiras de escolher um grupo que inclui o atleta proibido: escolhemos o atleta proibido e mais 2 atletas dos 199 restantes.
C(199, 2) = 199!2!(199-2)! = 199 times 1982
Portanto, a probabilidade $ P(I) $ é:
P(I)

Passo 4

Método II: sortear primeiro uma das equipes e, desta, sortear três atletas.
Primeiro, escolhemos uma equipe dentre as 20. A probabilidade de escolher a equipe que tem o atleta proibido é $ \frac{1}{20} $.
Dentro dessa equipe, temos 10 atletas, e queremos selecionar 3. A probabilidade de escolher o atleta proibido dentre esses 3 é:
Número de maneiras de escolher 3 atletas que incluem o atleta proibido:
120
Total de maneiras de escolher 3 atletas de 10:
C(9, 2) = 9 times 82 = 36
Então, a probabilidade de selecionar o atleta proibido nessa equipe é:
C(10, 3) = 10 times 9 times 86 = 120
Multiplicando pela probabilidade de ter escolhido a equipe certa:
36120 = 310

Passo 5

Método III: sortear primeiro três equipes e, então, sortear um atleta de cada uma dessas três equipes.
Primeiro, escolhemos 3 equipes dentre as 20:
C(20, 3) = 20 times 19 times 186 = 1140
Agora, queremos que uma dessas equipes seja a que tem o atleta proibido. A maneira correta de pensar aqui é que, para o atleta proibido ser escolhido, sua equipe deve ser uma das três selecionadas.
A probabilidade de a equipe do atleta proibido estar entre as três escolhidas é:
Agora, se a equipe do atleta proibido está entre as três, a probabilidade de ele ser escolhido nessa equipe é $ \frac{1}{10} $.
Então, a probabilidade total $ P(III) $ é:
C(19, 2)C(20, 3) = 19 times 1821140 = 1711140 = 19760

Resposta

Comparando as probabilidades:
P(I) = 3200 = 0,015
P(II) = 3200 = 0,015
P(III) approx 0,0025
Portanto:
P(I) = P(II) > P(III)

Exercícios relacionados