Complete a decomposição em frações parciais.
\frac{2 x^{2}-3 x}{\left(x^{2}+1\right)(3 x+2)}=\frac{B}{3 x+2}-\frac{1}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para decompor em frações parciais a função \displaystyle \frac{2x^{2}-3x}{(x^{2}+1)(3x+2)}
sabendo que já se assumiu a forma \displaystyle \frac{B}{3x+2}-\frac{1}{x^{2}+1}.
O conteúdo é decomposição em frações parciais, com denominador irreduzível x^{2}+1 e fator linear 3x+2.

Passo 2

Para encontrar B, multiplicamos a identidade proposta por (x^{2}+1)(3x+2), de modo a eliminar os denominadores. Assim obtemos a identidade polinomial
2x^{2}-3x \;=\; B\,(x^{2}+1)\;-\;(3x+2).

Passo 3

Expandindo o lado direito, temos
B\,(x^{2}+1)\;-\;(3x+2) \;=\;B\,x^{2}+B\;-\;3x\;-\;2 \;=\;B\,x^{2}-3x+(B-2).

Passo 4

Comparando coeficientes em
2x^{2}-3x+0 \;=\;B\,x^{2}-3x+(B-2),
vemos que:
\begin{cases} B = 2,\\\\ -3 = -3\quad(\text{confirmação}),\\\ B-2 = 0\,. \end{cases}çã
Logo B=2.

Resposta

\frac{2x^{2}-3x}{(x^{2}+1)(3x+2)} = \frac{2}{3x+2} - \frac{1}{x^{2}+1}.

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