Os componentes do vetor velocidade de um escoamento bidimensional e incompressível são dados por
calcule a função corrente e a velocidade resultante potencial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre um escoamento bidimensional incompressível, e nos dá as componentes da velocidade
u e v. Nosso objetivo é encontrar duas coisas: a função corrente (que chamamos de ψ) e a função potencial (φ). Para isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos e cálculo vetorial.Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a função corrente ψ. Em um escoamento incompressível, a função corrente é útil porque suas derivadas nos dão as componentes da velocidade. A relação é:
Isso significa que, para encontrar ψ, precisamos integrar
u em relação a y e garantir que as derivadas coincidam com v.Passo 3
Vamos começar integrando
u = 2xy em relação a y para encontrar ψ:Aqui,
g(x) é uma função que depende apenas de x e surge porque a integração em relação a y pode incluir uma função arbitrária de x.Passo 4
Agora, usamos a segunda relação,
v = -∂ψ/∂x, para encontrar g(x). Calculamos a derivada de ψ em relação a x:Igualando a
-v:Agora, integramos
g'(x) para encontrar g(x):Onde
C é uma constante, que podemos ignorar para simplificação.Passo 5
Substituímos
g(x) de volta na expressão de ψ:Então, a função corrente é:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a função potencial φ. Para que a função potencial exista, o escoamento precisa ser irrotacional, ou seja, o rotacional das velocidades deve ser zero. Vamos verificar isso:
Como o rotacional é zero, podemos encontrar φ tal que:
Passo 7
Primeiro, integramos
u = 2xy em relação a x para encontrar φ:Aqui,
h(y) �� uma função que depende apenas de y.Passo 8
Agora, usamos a segunda relação,
v = ∂φ/∂y, para encontrar h(y). Calculamos a derivada de φ em relação a y:Igualando a
v:Integrando
h'(y) para encontrar h(y):Ignoramos a constante
C para simplificação.Passo 9
Substituímos
h(y) de volta na expressão de φ:Então, a função potencial é:
Resposta
A função corrente é
e a função potencial é
.